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1、数学物理方程的发展史：从蓝图到宏业——华罗庚所长就职报告与中国科学院数学事业（下）

作者：李文林

来源：中国科学院数学与系统科学研究院

转自：中国科学院院刊

3历史时刻的闪光

华罗庚就职报告中所提出的“创造自主的数学研究”，已成为中科院数学研究事业的灵魂，从数学所到数学与系统科学研究院，中科院几代数学研究人员瞄准国际数学前沿，追求卓越，创新不懈，特别是在共和国科技发展历程的重要节点，中科院的数学家展示了重大成果，在国内外引人瞩目。

3.1 向科学进军――首届自然科学奖金

1956年，中科院首次颁发面向全国的科学奖金（自然科学部分）。在一等奖的3项获奖成果中，中科院数学所摘取了2项，即华罗庚的“典型域上的多元复变数函数论”和吴文俊的“示性类与示嵌类的研究”。

多复变数函数论是现代数学的前沿领域，华罗庚“典型域上的多元复变数函数论”系列研究，开创了典型域上的解析函数论与调和函数论的系统化研究。华罗庚独辟蹊径，巧妙地给出典型域上完备规范正交基的显式表达式，并发现重要的Bergman 核、Cauchy 核、Poisson 核的漂亮表达式，而在华罗庚的工作问世之前，人们连单位球上的 Cauchy 核也写不出来。华罗庚在这一领域有许多重大发现，他发现的一类微分算子国际上称之为“华氏算子”。该项工作不仅在多复变数函数论，而且在调和分析、自守函数论、李群表示论、微分方程论和随机矩阵理论等一系列国际数学前沿领域有着持久深刻的影响。

吴文俊的“示性类与示嵌类的研究”，是对现代数学另一核心领域——拓扑学的重大贡献。示性类是拓扑学中最基本的整体不变量。吴文俊引进新的方法与手段，形成了系统的示性类理论。在吴文俊的工作之前，人们对不同示性类之间的关系是迷惑不清的，示性类的计算存在极大困难。吴文俊引进了现在以他的名字命名的“吴示性类”，并找到了刻画各种示性类之间关系的“吴公式”，他的工作最终使示性类理论成为拓扑学中最完美的一章。拓扑学的另一个基本问题是所谓“嵌入问题”。在吴文俊之前，这方面只有零散的结果，吴文俊引进了“吴示嵌类”“吴示痕类”等基本不变量，发展了统一的示嵌类理论。

1957年1月25日《人民日报》以《奖励先进，鼓舞后起，齐向科学大进军：我国首次颁发科学奖金》为题刊登了获奖名单。数学所的数学家将3项一等奖中的2项收入囊中，这不仅使数学所全体科研人员备感鼓舞，同时也激励全国广大科研工作者向科学进军，去创造更多高水平的研究成果。

3.2“科学的春天”的信息与献礼

1976年5月，在“文革”行将结束前夕，一个名为“纯粹与应用数学考察团”的美国数学家代表团访问中国。代表团返美后发表了一个正式的考察报告，其中谈道：“有些创造性工作是真正优秀的，当考虑到这些工作是在孤立状态下作出时就更令人感动了，特别，解析数论与亚纯函数的工作是一流的”，并指出“要特别注意冯康于1965年独立地发明了有限元方法”等[1]。这些评述向世人展示了中科院的数学科研人员在极度艰难的条件下，坚持数学研究而取得的标志性成果，同时传达了中国数学研究在经历“文革”严冬后即将复苏的信息。

在考察报告中提到的“解析数论与亚纯函数的工作”分别指陈景润等在哥德巴赫猜想研究方面的结果与杨乐、张广厚关于值分布理论的研究结果。“文革”结束后，1977年2月25日和10月3日，《人民日报》分别发表报道《杨乐、张广厚研究函数理论获重要进展》《陈景润对“哥德巴赫猜想”研究取得成就》。1978年2月17日，《人民日报》又转载了徐迟的报告文学《哥德巴赫猜想》。紧接着，在同年3月召开的全国科学大会上，陈景润受到中央领导同志的接见。这一切不仅使中科院的数学工作者沐浴到了“科学的春天”的阳光，同时也对全国范围内尊重知识、尊重人才的良好氛围的形成产生了历史性影响。

1982年，在“文革”之后第一次颁发国家自然科学奖时，哥德巴赫猜想研究的成果荣获一等奖，3位获奖人陈景润、王元、潘承洞都是数学所哥德巴赫猜想讨论班的成员。王元早在1956年和1957年分别证明了（3，4）与（2，3），为中国数学家夺得了（偶数）哥德巴赫猜想研究的首金，引跑了中国数学家的登山路线，最终导致陈景润的“陈氏定理”（1，2）的诞生。“陈氏定理”结果最初以简报形式发表在“文革”前最后一期《科学通报》上（1972年发表全文），历经半个多世纪至今仍未能有人超越。哥德巴赫猜想是与黎曼猜想、孪生素数猜想一起列入著名的希尔伯特23个数学问题的旷世名题，它们至今虽都未获最终解决，但却是数学新思想和新方法的孵化器。

中国数学家对哥德巴赫猜想的研究意义不仅在于获得最佳结果，更重要的是由于方法上的创新而为国际同行所引用与称道。

这里应该提到，因独立于西方创立有限元计算方法而与陈景润等同年获得国家自然科学奖二等奖的冯康，1997年又因“Hamilton 系统的辛几何算法”而被授予国家自然科学奖一等奖。科学计算的主要课题是数值求解数学物理方程，而数学物理方程有Newton、Lagrange和 Hamilton三大体系。由于一切真实的守恒物理过程都可以表示为 Hamilton体系，故发展 Hamilton 体系计算方法具有重大意义，而在冯康之前已有的算法均不适用于此类问题的求解。冯康于1984年首次系统提出适于Hamilton系统的辛几何算法，这一算法在许多方面具有独特的优越性，带动了国际上一系列相关研究，开创了科学计算新的前沿领域。

至此，中科院的数学家已收获了国家授予数学领域研究成果的全部6项自然科学奖一等奖中的4项。

3.3 国家最高科学技术奖赢首奖

2001年，在知识创新的热潮中，中科院数学与系统科学研究院吴文俊院士在人民大会堂从时任国家主席江泽民手中接过了首届国家最高科学技术奖奖状。中科院的数学家再次吸引了亿万公众的目光。

吴文俊因其在拓扑学与数学机械化两方面的研究荣获了国家最高科学技术奖。如果说他对拓扑学的贡献是在外国数学家已建立的领域里有所突破，那么数学机械化则是他在汲取中国古代数学精髓的基础上开创的崭新领域。吴文俊从20世纪70年代开始研究几何定理的机器证明，他在现代代数几何的基础上发展宋、元时期数学家的消去法，并且打破现代代数几何研究中的理想论式传统，恢复零点集论式而发明了被国际上誉为“吴方法”的数学机械化方法，改变了国际自动推理的面貌，使中国在数学机械化领域处于国际领先地位。因对“数学机械化这一交叉领域的贡献”，吴文俊还赢得了2006年邵逸夫数学科学奖，评奖委员会称吴方法“使该领域发生了一次彻底的革命性变化”，认为吴文俊的工作“揭示了数学的广度。为未来的数学家们树立了新的榜样”。

3.4“两弹一星”有贡献

按照华罗庚的就职报告，数学所一开始就对应用数学的发展作出了长远的规划并陆续进行了较为全面的部署。近70年来，中科院的数学家在发展基础研究的同时，在将数学应用于工农业生产、国防建设、尖端技术、国民经济以及其他科学领域方面也有不凡的表现。华罗庚亲自领导的应用数学小分队，在全国推广“双法”（优选法和统筹法），足迹遍及神州大地，产生了巨大社会和经济效应；华罗庚与王元合作开展数论在近似分析中的应用研究，创立了享誉国际数坛的“华-王方法”；中科院的数学科研人员在地震勘探数值方法、均匀实验设计统计方法的应用、专家系统开发环境，以及粮食预测、密码编制与破译等众多领域都作出了卓有成效和获得高度褒奖的工作。特别是，数学所科研人员积极参与了“两弹一星”的研制任务。

轨道测量和轨道选择是我国发射第一颗人造地球卫星要解决的主要任务和关键问题之一。以时任数学所副所长关肇直为组长的中科院卫星轨道工作组首创多站多普勒独立测轨法，并提出具有中国特色的短弧段跟踪技术。轨道组的出色工作为我国第一颗人造地球卫星的轨道选择提供了科学依据，也为我国卫星的轨道工作奠定了良好基础。关肇直等是1985年首届国家科技进步奖特等奖“尖兵一号通用型卫星及东方红一号卫星”的主要参与者。

20世纪50—60年代，数学所先后向国防部门输送了一批优秀数学家，他们在国防科技战线建功立业。秦元勋在核弹威力计算方面作出重要贡献，是这方面的突出例子。秦元勋后成为1982年国家自然科学奖一等奖“原子弹氢弹设计原理中的物理力学数学理论问题”主要获奖者之一。

3.5 小结

以上仅是中科院的数学家“创造自主的数学研究”的代表性案例，这些已被载入共和国科技发展史册。特别是，华罗庚与陈景润的名字在庆祝中华人民共和国成立60年之际已被镌刻在“100位新中国成立以来感动中国人物”的名册上；在改革开放40周年之际，党中央表彰为改革开放作出杰出贡献的100人名单中，也有一位中科院的数学家──陈景润。

4结语

华罗庚提出他的就职报告时，数学所仅有二三十名科研人员和为数不多的研究方向，自那时起至今近70年里，中科院几代数学人投入到实现报告所提出的自主创新的战略目标、赶超世界数学先进水平的宏伟事业中。今天的中科院数学与系统科学研究院，已发展为研究门类齐全、人才实力雄厚、自立于世界数学之林的现代化数学研究机构。在这里，一批优秀的、活跃于国际数学前沿的青年数学家，正在“率先实现科学技术跨越发展，率先建成国家创新人才高地，率先建成国家高水平科技智库，率先建设国际一流科研机构”的顶层设计指引下，不忘初心，继承发扬老一辈数学家的优良传统，奋力攀登新的高峰，在新时代创造新的辉煌！

参考文献

2、数学物理方程的发展史，方程的求解历史闪耀着中外各国数学家的智慧

方程是从现实生活到数学的一个提炼过程，是一个用数学符号提炼现实生活中的特定关系的过程。由于实践的需要数学方程在古代便已产生了，古代各地区的文明都曾努力探讨过方程的求解问题。

我国的天元术列方程法

最简单的一次方程的求解在巴比伦数学、古埃及数学、古印度和中国古代数学中都有解决方法。所有这些古代数学中也都探讨了二次方程的求解问题，中国和古希腊、阿拉伯的数学家也基本上解决了这个问题。三次方程的问题在一些古代数学中已经提出来了，但未能给出一般性解决，三次方程的一般解法在文艺复兴的后期才得到解决。

移项解决一元一次方程

丢番图和他的著作《算术》

一元一次方程是从算术思维到代数思维过渡时最早遇到的方程，现在看解一次方程很简单，只要会移项就可以了，而移项就是古希腊数学家丢番图发明的。丢番图的著作《算术》中给出了一元一次方程的解法：“如果方程两边遇到的未知数的幂相同，但是系数不同，那么应该由等量减去等量，直到得出含未知数的一项等于某个数为止。”这就相当于现在解方程中的移项。

丢番图更著名的成就是创立了代数的符号体系。在丢番图之前，人们都是用文字表示数学。《算术》中引入许多缩写符号，如未知量、未知量的各次幂等都用特殊符号来表示。虽然丢番图的符号体系现在看起来也如天书一般，不过这在代数发展史上是一巨大进步。

古希腊数学在相当长的一个时期里认为只有经过几何论证的命题才是可靠的。代数问题，甚至简单的一次方程的求解，也都纳入了几何的模式之中，直到丢番图把代数解放出来。他认为代数方法比几何的演绎陈述更适宜于解决问题，而他在解题的过程中显示出的高度的巧思和独创性，在希腊数学中独树一帜。

为了纪念丢番图，现在对于具有整系数的不定方程，如果只考虑其整数解，这类方程就称为丢番图方程。丢番图本人也被尊崇为代数之父。

还原对消与韦达定理

早在公元前2000年左右，古巴比伦人就找到了二次方程的个别解法，随后在公元前480年左右，中国人用配方法解决了二次方程。《九章算术》中出现了完全二次方程类型的实际题，但解方程的方法原书只就只有“开方除之”一句话，没有其他解释。古印度文明中也二次方程的解法记录，不过都不是一般解法，同样也没有得到解完全二次方程的普遍公式。

最终的解决办法是9世纪初由阿拉伯数学家阿尔-花拉子米（也译作花刺子模）找到的。花拉子米把所有类型的二次方程，归纳成统一的形式：ax²十bx十c=0，并且给出了出一般二次方程的求根公式。

花刺子米有两部数学著作传世。第一部《花拉子米算术》介绍了十进位值制记数法和以此为基础的算术知识。现代数学中算法(algorithm)一词就来源于这部著作的书名，即花拉子米的人名。

另一部《还原与对消计算概要》传至欧洲后被直接译成《代数学》，代数学（algebra）一词就是从这本书中来的。《代数学》中给出了解方程的简单可行的基本方法。主要方法有二：一是还原，即将负项移至方程另一端后变成正项；二是对消，即将方程两端相同的项消去或合并同类项，再加上算术运算即可求得结果。书中除了阐述解一次和二次方程的基本方法及二次方根的计算公式，还明确提出了代数、已知数、未知数、根、移项、集项、无理数等一系列概念。现在把方程的解叫做方程的根就源自于花刺子米。

韦达

16世纪50年代，法国数学家韦达改进了丢番图的符号系统，用辅音字母BCD等代表已知量，用不常用的XYZ代表未知量，现在数学公式的写法就来自于韦达。由于代数符号的缺失，在韦达之前，西方人无法简单地表达一个方程，这也是16世纪以前解方程离不开假设法的原因。韦达用符号语言表达出了数学思想，使代数学进入了符号代数阶段。

韦达定理

韦达的贡献不止于此，他最著名的成就当然是提出了二次方程根和系数的关系，即韦达定理。他基于等式性质证明了命题：方程经过移项后保持不变、方程两边同除以一个不等于零的常数后保持不变。

三次方程解法的论战

二次方程已经解决了，人们又把目光投向了三次方程，当时人们把三次方程的问题分成了两类，分别是：

ax3 bx=n

ax3 bx2=n

最先是意大利的费罗大约在1515年用代数方法求解得出了ax3 bx=n这类三次方程的求解方法，并传给了他的学生费奥尔。另一位意大利数学家塔尔塔里亚在1535年左右独立得到ax3 bx2=n这类三次方程的求解方法。费奥尔知道后就向塔尔塔里亚提出挑战，要求就此进行公开辩论。费奥尔向塔尔塔里亚提出30个缺二次项的三次方程的问题，塔尔塔里亚在一年之内破解了这类方程的解法。同时，塔尔塔里亚也向费奥尔提出30个问题，其中有些问题是缺一次项的三次方程，费奥尔解不出来，塔尔塔里亚大获全胜。

卡尔达诺

此时，意大利另一名数学家卡尔达诺得知塔尔塔里亚的胜利后向其求教。在得到决不泄密的保证后，塔尔塔里亚把他关于缺二次项的三次方程的解法写成一首诗送给卡尔达诺。卡尔达诺做了深入的研究，首先是用几何方法证明了这一解法，然后找出多种类型的三次方程的解法并给出证明，进而提出三次方程有实数根，但求解时遇到负数开方的问题。之前的数学家都只注意到三次方程的正根，卡尔达诺不仅讨论了负根，而且还第一次明确地提到复根。

1545年卡尔达诺在自己的著作《大术》中公布了他所知的几类三次方程的解法及证明，研究了四 项俱全的一般三次方程的求解问题并给出了解法。1550年~1572年，意大利的邦别利在著作中引入了虚数，完全解决了三次方程的代数解问题。

三次方程的求解有许多人做了创造性的工作，但以卡尔达诺的研究最为深刻，因此后来三次方程求解公式被称为卡尔达诺公式。

高次方程根式解不一定存在

四次方程的求解几乎与三次方程同时得出，那是卡尔达诺的学生费拉里的研究成果，就发表在卡尔达诺的《大术》中。受到成功鼓舞的人们自然要向更高次方程进军了，但五次方程求解的工作竟然用了200多年而且是以一个不可能的结果出现的。

自四次方程求解公式出现以后，好长时间都没有更高次方程的突破。数学家们已经不想再按部就班地五次方程六次方程这样解下去了，他们要找到一劳永逸的办法来彻底解决高次方程的解法问题。

欧拉最早对这个问题做了研究，他的解决思路还是降次，其实方程的解一直是这个思路，二次方程就是降成了一次方程，三次方程降成了二次方程，在欧拉看来，只要降次这个思路行得通，就算n次方程也没关系，反正可以变成n-1次，以此类推，直至降到一次，不过他并没有对此深入研究。

拉格朗日接过了欧拉的旗帜，他沿着这条路走了下去，在研究过程中，拉格朗日意识到五次方程根式求解的公式可能不存在，他又试图证明这个结论的正确性，但也以失败告终。

阿贝尔

1826年，阿贝尔证明了一般五次方程用根式不能求解，并给出一些能用根式解的特殊方程，后来被称为阿贝尔方程。他试图刻画出能用根式解的方程的特性，终因过早病逝而未能完成。

阿贝尔没有给出哪些方程可以根式解、哪些方程不能根式解的判别标准。伽罗瓦在这点上取得了突破，而且得到完整的结果。他提出了群的概念，即每个方程都对应一个有限置换群，方程可根式解的充分必要条件是方程的群是可解群。伽罗瓦在此基础上提出了一整套关于群和域的理论，成为近世抽象代数的创始人。

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