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1、「Python」零起步数学+神经网络入门

摘要：手把手教你用(Python)零起步数学+神经网络入门！

在这篇文章中，我们将在Python中从头开始了解用于构建具有各种层神经网络（完全连接，卷积等）的小型库中的机器学习和代码。最终，我们将能够写出如下内容：

假设你对神经网络已经有一定的了解，这篇文章的目的不是解释为什么构建这些模型，而是要说明如何正确实现。

逐层

我们这里需要牢记整个框架：

1. 将数据输入神经网络

2. 在得出输出之前，数据从一层流向下一层

3. 一旦得到输出，就可以计算出一个标量误差。

4. 最后，可以通过相对于参数本身减去误差的导数来调整给定参数（权重或偏差）。

5. 遍历整个过程。

最重要的一步是第四步。 我们希望能够拥有任意数量的层，以及任何类型的层。 但是如果修改/添加/删除网络中的一个层，网络的输出将会改变，误差也将改变，误差相对于参数的导数也将改变。无论网络架构如何、激活函数如何、损失如何，都必须要能够计算导数。

为了实现这一点，我们必须分别实现每一层。

每个层应该实现什么

我们可能构建的每一层（完全连接，卷积，最大化，丢失等）至少有两个共同点：输入和输出数据。

现在重要的一部分

假设给出一个层相对于其输出（∂E/∂Y）误差的导数，那么它必须能够提供相对于其输入（∂E/∂X）误差的导数。

记住，Eæ˜¯æ ‡é‡ï¼ˆä¸€ä¸ªæ•°å­—ï¼‰ï¼ŒX和Y是矩阵。

我们可以使用链规则轻松计算∂E/∂X的元素：

为什么是∂E/∂X？

对于每一层，我们需要相对于其输入的误差导数，因为它将是相对于前一层输出的误差导数。这非常重要，这是理解反向传播的关键！在这之后，我们将能够立即从头开始编写深度卷积神经网络！

花样图解

基本上，对于前向传播，我们将输入数据提供给第一层，然后每层的输出成为下一层的输入，直到到达网络的末端。

对于反向传播，我们只是简单使用链规则来获得需要的导数。这就是为什么每一层必须提供其输出相对于其输入的导数。

这可能看起来很抽象，但是当我们将其应用于特定类型的层时，它将变得非常清楚。现在是编写第一个python类的好时机。

抽象基类：Layer

所有其它层将继承的抽象类Layer会处理简单属性，这些属性是输入，输出以及前向和反向方法。

from abc import abstractmethod# Base classclass Layer: def __init__(self): self.input = None; self.output = None; self.input_shape = None; self.output_shape = None; # computes the output Y of a layer for a given input X @abstractmethod def forward_propagation(self, input): raise NotImplementedError # computes dE/dX for a given dE/dY (and update parameters if any) @abstractmethod def backward_propagation(self, output_error, learning_rate): raise NotImplementedError

正如你所看到的，在back_propagation函数中，有一个我没有提到的参数，它是learning_rate。 此参数应该类似于更新策略或者在Keras中调用它的优化器，为了简单起见，我们只是通过学习率并使用梯度下降更新我们的参数。

全连接层

现在先定义并实现第一种类型的网络层：全连接层或FC层。FC层是最基本的网络层，因为每个输入神经元都连接到每个输出神经元。

前向传播

每个输出神经元的值由下式计算：

使用矩阵，可以使用点积来计算每一个输出神经元的值：

当完成前向传播之后，现在开始做反向传播。

反向传播

正如我们所说，假设我们有一个矩阵，其中包含与该层输出相关的误差导数（∂E/∂Y）。 我们需要 ：

1.关于参数的误差导数（∂E/∂W，∂E/∂B）

2.关于输入的误差导数（∂E/∂X）

首先计算∂E/∂W，该矩阵应与W本身的大小相同：对于ixj，其中i是输入神经元的数量，j是输出神经元的数量。每个权重都需要一个梯度：

使用前面提到的链规则，可以写出：

那么：

这就是更新权重的第一个公式！现在开始计算∂E/∂B：

同样，∂E/∂B需要与B本身具有相同的大小，每个偏差一个梯度。 我们可以再次使用链规则：

得出结论：

现在已经得到∂E/∂W和∂E/∂B，我们留下∂E/∂X这是非常重要的，因为它将“作用”为之前层的∂E/∂Y。

再次使用链规则：

最后，我们可以写出整个矩阵：

我们已经得到FC层所需的三个公式！

编码全连接层

现在我们可以用Python编写实现：

from layer import Layerimport numpy as np# inherit from base class Layerclass FCLayer(Layer): # input_shape = (1,i) i the number of input neurons # output_shape = (1,j) j the number of output neurons def __init__(self, input_shape, output_shape): self.input_shape = input_shape; self.output_shape = output_shape; self.weights = np.random.rand(input_shape[1], output_shape[1]) - 0.5; self.bias = np.random.rand(1, output_shape[1]) - 0.5; # returns output for a given input def forward_propagation(self, input): self.input = input; self.output = np.dot(self.input, self.weights) + self.bias; return self.output; # computes dE/dW, dE/dB for a given output_error=dE/dY. Returns input_error=dE/dX. def backward_propagation(self, output_error, learning_rate): input_error = np.dot(output_error, self.weights.T); dWeights = np.dot(self.input.T, output_error); # dBias = output_error # update parameters self.weights -= learning_rate * dWeights; self.bias -= learning_rate * output_error; return input_error;

激活层

到目前为止所做的计算都完全是线性的。用这种模型学习是没有希望的，需要通过将非线性函数应用于某些层的输出来为模型添加非线性。

现在我们需要为这种新类型的层（激活层）重做整个过程！

不用担心，因为此时没有可学习的参数，过程会快点，只需要计算∂E/∂X。

我们将f和f'分别称为激活函数及其导数。

前向传播

正如将看到的，它非常简单。对于给定的输入X，输出是关于每个X元素的激活函数，这意味着输入和输出具有相同的大小。

反向传播

给出∂E/∂Y，需要计算∂E/∂X

注意，这里我们使用两个矩阵之间的每个元素乘法（而在上面的公式中，它是一个点积）

编码实现激活层

激活层的代码非常简单：

from layer import Layer# inherit from base class Layerclass ActivationLayer(Layer): # input_shape = (1,i) i the number of input neurons def __init__(self, input_shape, activation, activation_prime): self.input_shape = input_shape; self.output_shape = input_shape; self.activation = activation; self.activation_prime = activation_prime; # returns the activated input def forward_propagation(self, input): self.input = input; self.output = self.activation(self.input); return self.output; # Returns input_error=dE/dX for a given output_error=dE/dY. # learning_rate is not used because there is no "learnable" parameters. def backward_propagation(self, output_error, learning_rate): return self.activation_prime(self.input) * output_error;

可以在单独的文件中编写一些激活函数以及它们的导数，稍后将使用它们构建ActivationLayer：

import numpy as np# activation function and its derivativedef tanh(x): return np.tanh(x);def tanh_prime(x): return 1-np.tanh(x)**2;

损失函数

到目前为止，对于给定的层，我们假设给出了∂E/∂Y（由下一层给出）。但是最后一层怎么得到∂E/∂Y？我们通过简单地手动给出最后一层的∂E/∂Y，它取决于我们如何定义误差。

网络的误差由自己定义，该误差衡量网络对给定输入数据的好坏程度。有许多方法可以定义误差，其中一种最常见的叫做MSE - Mean Squared Error：

其中y *和y分别表示期望的输出和实际输出。你可以将损失视为最后一层，它将所有输出神经元吸收并将它们压成一个神经元。与其他每一层一样，需要定义∂E/∂Y。除了现在，我们终于得到E！

以下是两个python函数，可以将它们放在一个单独的文件中，将在构建网络时使用。

import numpy as np# loss function and its derivativedef mse(y_true, y_pred): return np.mean(np.power(y_true-y_pred, 2));def mse_prime(y_true, y_pred): return 2*(y_pred-y_true)/y_true.size;

网络类

到现在几乎完成了！我们将构建一个Network类来创建神经网络，非常容易，类似于第一张图片！

我注释了代码的每一部分，如果你掌握了前面的步骤，那么理解它应该不会太复杂。

from layer import Layerclass Network: def __init__(self): self.layers = []; self.loss = None; self.loss_prime = None; # add layer to network def add(self, layer): self.layers.append(layer); # set loss to use def use(self, loss, loss_prime): self.loss = loss; self.loss_prime = loss_prime; # predict output for given input def predict(self, input): # sample dimension first samples = len(input); result = []; # run network over all samples for i in range(samples): # forward propagation output = input[i]; for layer in self.layers: # output of layer l is input of layer l+1 output = layer.forward_propagation(output); result.append(output); return result; # train the network def fit(self, x_train, y_train, epochs, learning_rate): # sample dimension first samples = len(x_train); # training loop for i in range(epochs): err = 0; for j in range(samples): # forward propagation output = x_train[j]; for layer in self.layers: output = layer.forward_propagation(output); # compute loss (for display purpose only) err += self.loss(y_train[j], output); # backward propagation error = self.loss_prime(y_train[j], output); # loop from end of network to beginning for layer in reversed(self.layers): # backpropagate dE error = layer.backward_propagation(error, learning_rate); # calculate average error on all samples err /= samples; print('epoch %d/%d error=%f' % (i+1,epochs,err));

构建一个神经网络

最后！我们可以使用我们的类来创建一个包含任意数量层的神经网络！为了简单起见，我将向你展示如何构建......一个XOR。

from network import Networkfrom fc_layer import FCLayerfrom activation_layer import ActivationLayerfrom losses import *from activations import *import numpy as np# training datax_train = np.array([[[0,0]], [[0,1]], [[1,0]], [[1,1]]]);y_train = np.array([[[0]], [[1]], [[1]], [[0]]]);# networknet = Network();net.add(FCLayer((1,2), (1,3)));net.add(ActivationLayer((1,3), tanh, tanh_prime));net.add(FCLayer((1,3), (1,1)));net.add(ActivationLayer((1,1), tanh, tanh_prime));# trainnet.use(mse, mse_prime);net.fit(x_train, y_train, epochs=1000, learning_rate=0.1);# testout = net.predict(x_train);print(out);

同样，我认为不需要强调很多事情，只需要仔细训练数据，应该能够先获得样本维度。例如，对于xor问题，样式应为（4,1,2）。

结果

$ python xor.py epoch 1/1000 error=0.322980epoch 2/1000 error=0.311174epoch 3/1000 error=0.307195...epoch 998/1000 error=0.000243epoch 999/1000 error=0.000242epoch 1000/1000 error=0.000242[array([[ 0.00077435]]), array([[ 0.97760742]]), array([[ 0.97847793]]), array([[-0.00131305]])]

卷积层

这篇文章开始很长，所以我不会描述实现卷积层的所有步骤。但是，这是我做的一个实现：

from layer import Layerfrom scipy import signalimport numpy as np# inherit from base class Layer# This convolutional layer is always with stride 1class ConvLayer(Layer): # input_shape = (i,j,d) # kernel_shape = (m,n) # layer_depth = output depth def __init__(self, input_shape, kernel_shape, layer_depth): self.input_shape = input_shape; self.input_depth = input_shape[2]; self.kernel_shape = kernel_shape; self.layer_depth = layer_depth; self.output_shape = (input_shape[0]-kernel_shape[0]+1, input_shape[1]-kernel_shape[1]+1, layer_depth); self.weights = np.random.rand(kernel_shape[0], kernel_shape[1], self.input_depth, layer_depth) - 0.5; self.bias = np.random.rand(layer_depth) - 0.5; # returns output for a given input def forward_propagation(self, input): self.input = input; self.output = np.zeros(self.output_shape); for k in range(self.layer_depth): for d in range(self.input_depth): self.output[:,:,k] += signal.correlate2d(self.input[:,:,d], self.weights[:,:,d,k], 'valid') + self.bias[k]; return self.output; # computes dE/dW, dE/dB for a given output_error=dE/dY. Returns input_error=dE/dX. def backward_propagation(self, output_error, learning_rate): in_error = np.zeros(self.input_shape); dWeights = np.zeros((self.kernel_shape[0], self.kernel_shape[1], self.input_depth, self.layer_depth)); dBias = np.zeros(self.layer_depth); for k in range(self.layer_depth): for d in range(self.input_depth): in_error[:,:,d] += signal.convolve2d(output_error[:,:,k], self.weights[:,:,d,k], 'full'); dWeights[:,:,d,k] = signal.correlate2d(self.input[:,:,d], output_error[:,:,k], 'valid'); dBias[k] = self.layer_depth * np.sum(output_error[:,:,k]); self.weights -= learning_rate*dWeights; self.bias -= learning_rate*dBias; return in_error;

它背后的数学实际上并不复杂！这是一篇很好的文章，你可以找到∂E/∂W，∂E/∂B和∂E/∂X的解释和计算。

如果你想验证你的理解是否正确，请尝试自己实现一些网络层，如MaxPooling，Flatten或Dropout

GitHub库

你可以在GitHub库中找到用于该文章的完整代码。

本文由阿里云云栖社区组织翻译。

文章原标题《math-neural-network-from-scratch-in-python》

作者：Omar Aflak 译者：虎说八道，审校：袁虎。

2、一个人挺好的说说

一个人挺好的说说

1、如果遇不到那个对你掏心掏肺的人、那么一个人生活也挺好、昨儿明后、一年四季、泪水笑容、病痛挫折、咬咬牙、也就过去了。

2、觉得一个人生活也挺好、根本不需要男票？那你可能是得了恋爱恐惧症。

3、规律的生活、安静的一个人生活、这样挺好、没必要把生活搞得意味深长。

4、一个人生活也挺好的、再苦再累我也会坚持下去、笑笑吧、没什么了不起的。

5、又累又困……就是生活、我是我自己的，习惯了一个人，完美、自由挺好的，也许没有太多时间自由了。

6、当你习惯一个人生活。你会发现…那所谓的孤独和逞强、最后都会换来一句一个人也挺好……

7、当没遇见喜欢的人时、发现一个人生活挺好、当遇见心上人时、发现告别单身也难。

8、如果两个人那么累、那开始就一个人生活、不是挺好的、有什么比自由更重要的。

9、有时觉得一个人生活也挺好的、不知道大家每天回家会和家人有多少交流、我的话几乎是没有的、只是机械的吃饭洗澡睡觉。还不如一个人自由自在、希望以后可以带着宝宝上班、只要我和宝宝就好了。

10、一个人吃饭、一个人散步、一个人奋斗、一个人也挺好、我应该适应这种生活。

11、从小到大我就习惯了一个人生活、幼儿园放学能一个人回家、从小到大记忆里都是一个人睡、为数不多和妈妈睡的那几晚竟然是失眠的状态、这种骨子里的一个人的习惯早已根深蒂固、我竟然觉得一个人生活的挺好、为这种想法感到可怕、怕我再也不需要任何人、孤独竟然是我生活里的常态。

12、有的时候在想、安静的看一个人生活的有滋有味、也挺好的、本来已经有些淡然、结果今天看到照片又突然有些伤感、也许放不下的根本不是一个人、而是一口气、就是你凭什么这口气、怎么都咽不下去、半夜气到睡不着、自己这两年也是脾气长了、气性大了。

13、习惯了许久的孤独、突然间、你的生活多了一个同龄人、爱你、关心你、这种感觉、挺好的。

14、没遇见你之前、我觉得一个人的生活挺好；遇见你之后、我觉得自己白白浪费了从前的时光。

15、学会着一个人吃饭、学会着一个人逛街、学会着一个人看书、学会着一个人生活、其实一直都挺好的。

16、其实自己一个人挺好的，一个人逛街，一个人读书，一个人生活，不怕会被是是非非伤害。

17、不必门庭若市高朋满座，享受一个人的热闹、远离一群人的孤独、挺好。

一个人挺好的说说

1、爱情，一种麻醉自己，祸害别人的东西。

2、有你，我就拥有全世界，没你，我一无所有。

3、曾经拼了命的追，如今发了疯的退。

4、我只是渴望得到一份永久，没有谎言的爱情。

5、失去的不在回来，回来的不再完美。

6、爱一个人很难，放弃自己心爱的人更难。

7、再也没有一个人，像我爱你爱的那么深那么真。

8、也许N年后莪们擦肩而过，彼此却不再回头。

9、别拿我对你的爱，当做你猖狂的资本。

10、等一个不值得的人，不如爱一个值得爱的人。

11、我用了真心，却换来了人家的不理不睬。

12、不属于自己的，又何必那么拼命在乎。

13、我每天只想你一次，却持续了24小时。

14、越长大越孤单，越长大越不安。

15、真正的爱情，不是一见钟情，而是日久生情。

16、错过，不是错了，而是过了。

17、没有人和我一样，还在为了一个没有结果的结果执着。

18、没有借口、谎言，没有不兑现的诺言。

19、有时候，狠狠遗忘就是最好的报复。

20、有时候，最痛苦的不是失去，而是得到以后不快乐。

一个人挺好的说说

人生不过是一场旅行你路过我我路过你然后各自修行各自向前。

谁伤害过你谁击溃过你。都不重要。重要的是谁让你重新微笑。

生活一直都很简单但是我们也一直都忍不住要把它变得很复杂。

旅行不只是为了逃避生活的苟且更是为了认识旅行本身。

想你这个习惯想改都改不了。

一个人旅行是一种朝圣走到更远的地方只是为了找寻最真切的内心。

命运中不能使我们在一起相守相依不离不弃。也许从相遇的一开始爱就是一种捉弄。爱不是一场游戏我们都玩不起也承担不起那伤的重量。

单身意味着你足够坚强有足够耐心去等待那个值得拥有你的人。

一直这样自己选的路挺好。

每一次的'旅行我都可以自己走自己照顾自己。

你有你的希望我有我的坚持别拿你的希望来改变姐的坚持。

任何虚伪强装虚荣在时间面前终究落败。而能经得起考验而成为历史的必是对少数人的真诚和对大多数人的平和。活着不在于斗争而在于在无数的斗争中找出与你一样努力发光的人

想你这个习惯想改都改不了。

谁的寂寞覆我华裳谁的华裳覆我肩膀。

那些人旳名字有些我忘了有些我却会永远记得。正如有旳人曾经是无话不说最后却无话可说

我心疼你疼到忽略自己。我相信你信到怀疑自己。

旅行其实是需要具有一些流浪精神的这种精神使人能在旅行中和大自然更加接近悠然享受和大自然融合之乐。旅行有一种苍凉“浮云游子意落日故人情”孑然一身隐入苍茫自然自有一种孤独的意味；旅行更有一种逍遥浑然忘我与大自然交融的境界令人心弛神往。

你若将我万劫不复我便让你生不如死。

我的关心不过是你眼中卑微的讨好她的笑瞬间融化了你所有高傲。

生命中有很多东西能忘掉的叫过去忘不掉的叫记忆。

当擦身而过的人已经不再属于你是执着于悸动还是放下牵绊？错过种种是为了留下一生的遗憾还是为了有生之年再次遇见一个深爱自己的人？学会放手的那个人也许会获得海阔天空的美错过也许就是为了遇见。

当初的选择与离开背弃了自我的灵魂。我再也不愿受这样的煎熬过的这样狼狈。我爱你想和你在一起不管多久就那么一直到永远。习惯了有你习惯了对你霸道对你自私对你粗鲁。

一个人的世界很安静安静的可以听到自己的呼吸声和心跳声。

生活中很多事情不是得到就是失去。也许我失去的很多但必有所得。

既然爱为什么不说出口有些东西失去了就在也回不来了！

我就是啊每天一个人做一个多小时公交上下班一个人逛超市买菜做饭习惯了就好了。

一个人其实也挺好不会哭也不会闹。

我可以给你信任但不是没有底线。

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