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1、概率论的定义大全：来学习一下概率论基本知识，它能防止你的模型过拟合

最近，有位印度小哥Nimish Mishra在Medium上分享了一篇概率论基础知识，也是一篇零基础的入门课程。

这篇文章提到了很多基本概念和重要的变量分布。其中有些概念，比如协方差，可以帮助我们理解机器学习中变量之间的关系。

这位小哥提到的指数分布，则在神经网络调参中有着直接的应用。

下面，就让我们一起来跟他学习一下吧。

概率论中的基本概念

我们先从掷硬币开始谈起。

随机变量可以是离散的，也可以是连续的。比如抛硬币的结果就是一个离散的随机变量，而降雨量就是一个连续的随机变量。

为了方便起见，我们可以定义一个变量x，当硬币出现正面时x=1，当硬币出现反面时x=0。对于降雨量这个随机变量而言，我们只能定义x是一个大于0的实数。

随机变量的结果虽然不可预知，但并不是完全不可捉摸的，它有一定的规律性，这就是概率分布函数。

对于离散变量，它是x的概率为p，我们可以定义f(x)=p。在抛硬币这个问题中，f(0)=1/2，f(1)=1/2。

对于连续变量，x的取值是连续的，我们不能再说x等于某个值的概率是多少，而是用一个概率密度函数来表示它，当x取值在a和b两个数之间时，它的概率可以用以下积分结果表示：

弄清楚概率分布函数后，接下来我们就可以定义这些量：期望值、方差、协方差。

期望值又叫平均值，一般用μ表示。以离散随机变量为例，把变量的值和对应的概率相乘，然后把所有乘积相加起来，就是期望值：

方差用来衡量随机变量偏离平均值的程度，它是变量X减平均值μ的平方——(X-μ)^2——的平均值。

协方差表示不同随机变量之间关联的强弱。下面是四个变量ABCD之间的协方差表格：

当两个变量的协方差是负数时，表示一个变量值增加的同时，另一个变量值在减少。如果协方差是0，表示一个变量的值不会影响另一个变量。

常见的几种概率分布

我们还是以抛硬币为例，这个随机变量只能取正面1、反面0两个值，是一种伯努利分布：

对抛硬币来说， φ=0.5。

如果我们要预测n次抛硬币中有k次出现正面的概率是多少，还需要引入二项分布：

其中p表示硬币在单次投掷中出现正面的概率，也就是0.5。

以上是离散变量的情况，对于连续的随机变量，还有最常见的高斯分布（正态分布）、指数分布等等。

高斯分布在概率论中具有非常重要的地位，在统计学中，很多随机变量都符合高斯分布。它的定义如下：

其中μ是期望值，σ是标准差（方差的平方根）。高斯分布的函数图像如下，变量在平均值附近左右一个标准差内的概率是68.2%。

在深度学习中，我们需要调节神经网络的参数以防止过度拟合。这时候会用到指数分布：

λ值越大，变量x的分布越集中。

实际应用

概率不仅仅是掌握机器学习必需的基础知识，它也有一些直接的应用。

在前文中我们提到过，指数分布可以帮助调节神经网络的参数，防止过拟合。这一点很重要，因为过拟合会导致神经网络的性能不佳。

在Kaggle的一项预测客户交易的任务中，作者Nimish用概率论的方法找到了内部规律。

Nimish绘制了200个变量对结果分布的影响：

这组图是不同的两个参数（以0和1表示）条件下，相同变量的不同概率分布。第一行中的前3个图分布不完全相同，而第4个图几乎完全重叠。所以，第4个参数对随机变量可能没有影响。

以上只是对概率论的初步介绍，如果想要了解更多，可以去看一些相关专辑，也可以去看看Nimish的专栏文章。

原文链接：

https://towardsdatascience.com/probability-theory-for-deep-learning-9551b9255cf0

—完—

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2、概率论的定义大全，概率论的基本概念

概率：

该划随机事件发生的可能性大小的数量指标是一个客观存在的量。

概率是该划随机事件发生等可能大小的数量指标。

事件A的概率记为P（A）。

频率：

定义：在相同条件下，进行了n次试验，事件A发生了m次，称比值fn（A）=m/n.

频率从一定程度上反映了事件发生等可能的大小。它随着试验的次数、试验者的变化会有所不同。

频率具有稳定性：在一定条件（意义）下，频率稳定于某个常数。

频率的不确定性：不会随试验次数的增大，趋于特定常数。

频率与概率的关系：

频率不是概率，但在某种意义下，频率稳定于概率。

fn（A）=m/n 频率具有事前不可预言性

频率性质：

（1）对任意事件A，有0=<fn（A）<=1

（2）fn（s）=1

古典概率：

定义：设E是一个随机试验，若它满足以下两个条件：

（1）仅有有限多个基本事件

（2）每个基本事件发生的可能性相等。

则称E是古典概型的试验。

定义：设试验E为古典概型试验，Ai，i=1,2，......,n是基本事件，则由

p（A）=A所含的基本事件个数/基本事件总数=A所含样本点的数目/样本空间的样本点总数

所确定的概率为事件A的古典概率。

古典概率的性质与频率的性质相类似

概率的客观性和唯一性：

人们寻求建立一种数量指标——概率，用来刻画随机事件发生的等可能性大小。

试验条件确定的前提下，随机事件发生的等可能性大小是一个客观存在的量。

概率是随机事件发生等可能性大小的客观度量。

概率应具有客观性和唯一性。

一旦试验条件确定，一个随机事件发生的概率值不能因人因时而异，更不能因计算方法的不同而改变。

概率计算方法分析：

怎样客观度量随机事件发生等可能大小？

1.频率，不确定，不可预言

2.古典概型，局限性，要求随机事件唯一且各个基本事件发生的概率等可能

3.几何测度和几何概率 突破古典概率的局限性 但要求样本点在样本空间的分布具有均匀性，实际试验很难满足，几何概率定义也有明显的局限性。

概率的公理化抽象：

没有严格的概率定义，严重阻碍概率论的进一步发展和应用。

追求概率的严格数学定义，具有客观性和唯一性的同时，还具有普适性及科学性。

可验证以上概率具有定义的共同属性：

（1）对任意事件A，有0=<P(A)<=1;

（2）p（s）=1；

（3）或A1，A2，...，An互不相容，则它们和事件的概率等于各事件概率之和。

定义 设随机试验E的样本空间为S，若对于E的每一事件A都赋予一个实数P（A），其对应规则满足以下三条

（1）非负性 对任意事件A，有0=<P（A）<=1;

（2）规范性 P（S）=1；

（3）可列可加性 对于互不相容的事件列，它们的和事件的概率等于各事件概率之和。

称P（A）为事件A的概率。

概率公理化的科学性：

概率的公理化定义是科学的公理化结构：

（1）无矛盾，即公理化结构中的三个条件不相互矛盾；

（2）完备的，可由结构中三条用逻辑推理出概率的其它性质，该定义具有高度的抽象性和严密的逻辑性。

注：规范性是抽象过程中的人为规定，合乎常识且反映了直观实际背景。

1.不可能事件概率为0，p（∅）=0；

证明：

∵∅=∅∪∅U..,

p（∅）=p（∅∪∅U..）

由可列可加性 =p（∅） p（∅） ..

∴p（∅）=0

2.有限可加性

3.对任意对立事件A，B有P（A） P（B）=1

4.单调性，若随机事件A和B满足A⊂B，则，P（A）<=P（B），P（B-A）=P（B）-P（A）

5.概率加法概率，对任意两个随机事件A和B有

P（AUB）=P（A） P（B）-P（AB）

重重之重，可列可加性。

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