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1、伯努利大数定律：数学第一家族和“伯努利方程”

引语

流体行为诡谲莫测

比描述黑洞还要难

1912年秋天，“奥林匹克”号轮船正在大海上航行，在距离这艘世界上最大远洋轮的120米处，有一艘比它小得多的巡洋舰“豪克”号，“豪克”船长看见这艘世界第一巨轮特别兴奋，疾驶着与“奥林匹克”并行前进，心里想着“再大的巨轮，我也能与你并肩前行”。

天有不测风云，正在加速中的“豪克”突然之间被“奥林匹克”吸引，船长完全控制不了方向，一头向“奥林匹克”号撞来，最后酿成一件重大海难事故。

这次海面上的飞来横祸，让警察完全找不到方向，因为没有人知道，这次事故的罪魁祸首是流体力学中的“伯努利方程”。

谈到“伯努利方程”，我们要谈到一个古老的数学家族，这个家族的神秘与不可预测，可以与流动的物体相媲美。

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伯努利家族：数学第一世家

伯努利家族就像是科学史上的一个奇迹，没有人能解释，究竟是什么造就了伯努利家族。

这个家族曾经连续出现过十余位数学家，这些数学家有的是欧拉的老师，有的是莱布尼茨的朋友。即使抛开理论数学不谈，这个家族在工程、技术乃至法律、管理、文学、艺术等领域也是星光熠熠，仅在历史上被人追溯过的就有120位之多，堪称史上第一科学天团，数理圈的名门望族。

尤其在18世纪，更是出现了雅各布·伯努利、约翰·伯努利和丹尼尔·伯努利三位首屈一指的世界级数学家。他们共同在微积分的发展和应用上扮演着承前启后的领导角色， 推动了全世界的科学发展。

雅各布·伯努利，他是这个家族最早的叛逆者，抛却了这个伯努利家族积累下来的商业资源，义无反顾地走向数学深渊。这位让父亲伤透了心的家族长子，成为第一个证明了大数定律的人，概率论先驱之一，解决了一系列早期的微积分问题，牛顿一生的对手莱布尼茨曾感慨世上除了他自己，雅各布最懂微积分。雅各布留下最著名的一句话是：我违父意，钻研群星。

约翰·伯努利，他是雅各布·伯努利的弟弟，哥哥的任性给约翰带来沉重压力，老尼古拉把光耀门楣的重任压在约翰肩头，聪明的约翰为了学习数学，最后以攻读医科作幌子去读大学，和莱布尼茨混得特熟。他成为了变分法奠基人，1696年曾以公信的方式提出著名的“最速降线问题”，并培养了欧拉、克莱姆、洛必塔、丹尼尔、尼古拉二世等一大批出色的数学家。

丹尼尔·伯努利，物理学家、数学家、医学家。约翰·伯努利的儿子，伯努利家族博学广识的代表，家族中的成就最大者,他的全部数学和力学著作、论文超过80种,数学物理方法的奠基人。1738年《流体动力学》的出版使其登上科学的高峰，成为流体力学的开山鼻祖，后人称“流体力学之父”。

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“流体漩涡”中的家族纷争

与夺目的科学光辉相对应的，还有这个数学家族内部从未平息的纷争。

这个家族抛弃了世俗的财富，但对数学荣誉的追求，却成为另一种诅咒。

雅各布·伯努利和弟弟约翰·伯努利兄弟阋墙，两人在“双曲余弦函数”“降速曲线”的证明上互相攻讦，成为一生对手。

雅各布临死之时仍然不忘诋毁自己的弟弟：“如果我不久后将过世，我弟弟肯定会回到巴塞尔。他不会接受其他职位，他只想接替我的位子。”

比兄弟阋墙更可怕的是，约翰·伯努利与丹尼尔·伯努利父子之间同样演绎着刀光剑影的故事。

1734年，当丹尼尔·伯努利带着巴黎科学院的大奖回到家乡，父亲约翰只做了一个决定：把儿子赶出家门。即使是自己的儿子，约翰也无法容忍其日益展露的数学锋芒可能会威胁自己的学术地位，这种嫉妒的心理，亦如年轻时势要击败哥哥雅各布一样，或许更为甚之。

约翰·伯努利曾经在日记中傲然写道：“我的对手们都死在我前面，而且都比我年轻，这是一种命运。”他一人站在高峰，纵然孤独，却不允许任何人夺去他的光芒，哪怕是自己的儿子。

数学就是套在约翰·伯努利手指上的魔戒，他要一个人彻底占有它，谁都不能染指。

丹尼尔有意回避父亲的研究领域，他开始研究流体力学的知识，尽量少与父亲熟悉的领域打交道。然而约翰却被丹尼尔研究的领域深深吸引，他在丹尼尔出版著作《流体力学》之后，紧随其后出版了一本《水力学》，且特意将写成时间注明为1732年，试图证明自己的优先权。可是很快，约翰的伎俩被人揭穿，由于丹尼尔写书过程中一直与其他科学家保持交流，约翰这本书的横空出世不能不让人惊诧。更糟的是，约翰实际上从儿子的书中盗用了素材，剽窃了儿子的学术成就。

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伯努利方程：弧线的魅力

《流体力学》究竟具有什么魔力，使得父亲不惜抄袭儿子的成果？

伯努利方程到底有多伟大，丹尼尔能借助它在家族和科学界扬名立万？

1726年，通过生活中一个不起眼的奇怪现象：打开水龙头时，为什么流出的水会比水龙头的出口细一些？丹尼尔发现，从水流中流出的水流压力要低于周围静止的空气，所以水流会变成一条细细的水柱，比水龙头的出口细一些。

为了验证自己的猜想，丹尼尔反复实验，让水流经一个水平的透明的玻璃管，在玻璃管上垂直插入一根透明的毛细管，然后通过观察毛细管中液位的变化，就可以测量水流的压力。水压越高的话，毛细管中的液位就会被顶得越高，反之则会下降。果然不出所料，伯努利发现增加水平管中水流的速度，垂直管中的压力就会下降，而且下降的程度与水流速度的平方成正比。所以任何流动的水流都比静止时的压力低，并且流速越快，压力越低。

这一推断即为后来著名的“伯努利原理”。

1738年，于《流体力学》一书中，丹尼尔根据伯努利原理给出了等价的数学表述“伯努利方程”：

p，代表流体中某点的压强

ν，代表该流体中某点的流速

g，为重力加速度

h，该流体中某点所在的高度

ρ，为流体密度

c，为常数

在这里，我们来解释一下“奥林匹克”号轮船为什么与“豪克”号相撞。

两艘船并排航行，水面比较窄的流速就比两船外侧的水的流速高，压力比两船外侧的小。结果这两艘船就会被船外侧压力较高的水挤在一起，最后发生碰撞事件。

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伯努利家族延伸线：流体无限

约翰虽然在晚年与儿子丹尼尔大打出手，但在丹尼尔年青的时候，他是个合格的父亲。

1725年，丹尼尔到彼得堡科学院工作，被任命为生理学院士和数学院士时，父亲约翰担心儿子不能胜任，让自己的得意门生欧拉前去当丹尼尔的助手，是的，你没有看错，就是那位数学史上的顶尖大神，前去给丹尼尔当“助理”。

“陪太子读书”的欧拉也没有吃什么亏，他在这个数学家族里得到很多回报，他使用丹尼尔·伯努利发明的无穷插值法，完美地得到了阶乘函数全实数表达式——即伽玛函数。当他看到伯努利方程时也是兴奋万分，不过丹尼尔的方程太过浅显直白，完全不能突显数学第一世家的格调。况且伯努利家族一向以擅长微积分闻名于世，欧拉是一个合格的助理，他自作主张把伯努利方程升级为伯努利方程2.0：

再对比一下伯努利方程，有没有感觉到一下子从中学到了硕士的水平。此时的欧拉刚刚20岁，不愧是著名数学家兼教育家约翰.伯努利的弟子，他把动量和质量守恒植入到流体力学之中，开创了无黏流体的统一方程，虽然后世流体力学研究者万千，优秀的数学家也不可胜数，但两大守恒无人敢背叛……

不过，丹尼尔自己是怎么想的，我们就不得而知了，不过作为欧拉一生的挚友，一半是内心窃喜的，另一半觉得这是装逼的。

除了欧拉，作为伯努利家族的第三代外传弟子柯西——约翰·伯努利是欧拉老师，欧拉是拉格朗日的重要影响者，拉格朗日是柯西的重要指导者。

柯西也想体现一下自己在这个数学家族中的存在感，他在伯努利方程2.0发布了一个新版本伯努利方程3.0柯西动量定理：九维张量方程。

σ为张量

流体空间一下子从三维受力跃升到九维应力，柯西在欧拉的三维受力上一下子增加了六个剪切应力。虽然格调又上了一个台阶，却把很多本来有意研究流体力学的爱好者吓跑了九成，余下的一成基本也只能望着方程发呆，直到一甲子后纳维和斯托克斯发现“粘度X速度散度”可以得到剪切应力，这两位不怕死的数学家合力推出纳维-斯托克斯方程（简称N-S方程），科学界才开始重新认真思考流体力学方程，这一思考就是155年。

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伯努利方程4.0：纳维-斯托克斯方程

2000年初美国克雷数学研究所选定七个“千年大奖问题”，建立七百万美元大奖基金。

这七个“世界难题”是：NP完全问题、霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼假设、杨-米尔斯存在性和质量缺口、N-S方程、BSD猜想，这七个问题都被悬赏一百万美元。

这个时候距离1845年完整提出“伯努利方程4.0(N-S方程)”已经过去了155年，为了求解这个非线性偏微分方程，其中不知道有多少英雄竞折腰，对于这个方程，就连纳维和斯托克斯自己也无可奈何，N-S方程求解非常困难和复杂，除了在某些十分简单的特例流动问题上才能求得其精确解。例如把N-S方程沿流线积分可得到粘性流体的伯努利方程：

不管N-S方程的求解有多艰难，但流体力学如此重要，有人的地方就有江湖，有水和空气的地方就有流体力学，再怎么样也得试试。因为航天飞船离不开流体力学，水下潜艇也离不开流体力学，港珠澳大桥、南水北调工程都离不开流体力学，寻找到一种精确的求解方式是所有科学家的梦想。

别以为计算黑洞的史瓦西解有多难，有种把小区里那颗老苹果树上掉下来的叶子的轨迹计算出来才是真厉害。

就这样，很多人算啊算啊算，就是想拿下这一世纪难题。

总结下来，求解流体的精确解主要分为两大流派。

第一个流派是理论派。这一派主要以大科学家为主，这些人一个个眼高于天，相信凭借自己天才的脑袋就可以找到一个通用公式，不一定就得臣服于伯努利家族，这些人包括麦克斯韦、玻尔兹曼……他们一个个试图从微观世界寻求宏观世界的运动轨迹，破解那不可预测的流体之密。

第二个流派是实验派。这些人都是实验派科学家，他们相信伯努利方程是解决问题的基石，不相信那些子虚乌有的自我想像，而是想通过一个个的实验来建立数学模型求解，什么样的流体就用什么样的模型来计算，这世界没有实验解决不了的问题，如果不行，那就再做一个实验。最著名的实验派包括以下：

❶雷诺实验。将瞬间速度分解成随时间统计平均速度和脉动速度。

❷RANS模型。假设漩涡具有粘性特质，并且假设九维张量等于漩涡粘性乘以流体的变形量。

❸涡粘模型。用涡粘性系数的方法来模拟湍流流动，通过涡粘度将雷诺应力和平均流场联系起来。

N-S方程延续了伯努利方程的传奇，就像那个神秘的数学家族一样，我们至今还没有破解她的奥秘。

结语

我们会有这样的数学世家吗？

多年过去，谈起伯努利家族之余，众人依旧嘘唏。

这个家族抛却了商业世界的繁华，将毕生的价值专注于冰冷的数学，他们成就了自己在科学史上的辉煌，也带来了生命无法承受之重：兄弟阋墙，父子反目。

这到底是一个被上天眷顾的家庭，还是一个受到智慧诅咒的族类？

从学术传统上来说，伯努利家族继承了惠更斯和莱布尼兹的传统，在欧洲大陆开启了约束运动和能量守恒为主线的力学研究，为后来开启分析力学打下了基础。这也可以说为后来形成的以法国、俄罗斯和德国为代表的欧洲大陆学派的传统打下了基础。当然，其中最闪耀的成就之一就是“伯努利方程”。

这个星光闪耀、人才济济的伯努利家族现象，数百年来一直受到人们关注，它给人们一个启示：家族的“近朱者赤”，可以是天才成长的摇篮，我们有一天也会出现这样的数学世家吗？

参考资料：

邹立尧，陈世元等. 一种基于伯努利原理的电动汽车辅助电源研究． 《 微电机 》 ， 2013

陈昱澍. 冤屈的船长——谈伯努利原理． 《 中学物理 》 ， 2003

黄桦，陈小敏. 教科书中伯努利原理演示实验的误解与正解． 《 物理教学 》 ， 2017

L.朗特著，郭永怀、陆士嘉译：《流体力学概论》，科学出版社，北京，1981。

王运东，骆广生，刘谦．传递过程原理：清华大学出版社，2002

孤独求静，流体力学野史，2019

本期编辑｜Hypercube

本期投稿｜德不罗意

来源：量子学派

2、伯努利大数定律，四个常见的大数定律

四个常见的大数定律?导读：在一些情况下，概率是由频率推导而来的，要得到可信的概率，就要大量重复地试验而且，重复试验的次数越多，结论就越让人信服那么，为何人们直觉上更愿意相信从大数据中得到的统计结果，而不是从小数据中得到的经验呢？，我来为大家科普一下关于四个常见的大数定律?下面希望有你要的答案，我们一起来看看吧!

四个常见的大数定律

导读：在一些情况下，概率是由频率推导而来的，要得到可信的概率，就要大量重复地试验。而且，重复试验的次数越多，结论就越让人信服。那么，为何人们直觉上更愿意相信从大数据中得到的统计结果，而不是从小数据中得到的经验呢？

作者：徐晟

来源：华章科技

要解释这一现象，统计学中有一个非常重要的理论——大数定律。该定律表明，样本数量越多，结论就越接近真实的概率分布。也就是说，在重复的试验中，随着试验次数不断增加，事件发生的频率会越来越趋于一个稳定的数值，即它的概率。

大数定律最早是由数学家伯努利在他的《推测术》中提出的。该书由4个部分组成，前3部分主要是对古典概率的系统性阐述，第4部分是这本书的精华，主要探讨了概率论在社会、道德和经济领域的应用，其中就提到了大数定律以及它的证明过程。

只有基于大量的统计数据，才能得到更为准确的统计结果。这个结论虽然直觉上好理解，但以前没有人证明过它。

伯努利的伟大之处就在于，他用数学严格证明和解释了这个直觉经验：只要通过大量试验，人们观察得到的频率和实际的概率之间的差距就会越来越小，而且只要重复次数足够多，这个误差就能够小于任意小的正数。这也是概率论历史上第一个极限定理。

由伯努利首先研究并推广的大数定律，已经成为整个统计学的基础。随后经过几百年的发展，大数定律的理论体系被不断完善，切比雪夫、辛钦、泊松、马尔可夫等一系列大数定理被提出和证明，它们都是基于大数定律的某种数学表达。

不过，人们仍然对伯努利大数定律的哲学意义给出了很高的评价。伯努利自己在《推测术》的最后说道：如果我们能把一切事件永恒地观察下去，那么我们终将发现，世间的一切事物都受到因果律的支配，而我们注定会在种种极其杂乱的现象中认识到某种必然。

大数定律告诉我们，随机事件重复发生后，其可能性结果会趋于一种稳定的状态。它揭示了随机事件发生频率的长期稳定性，体现了偶然之中包含的一种必然。

大数定律已经广泛应用到宏观经济学、量子热力学、空气动力学等各个领域。

生活中很多地方也能看到它的身影。比如你想换部手机，于是在网上搜索手机的相关信息，突然发现一个人对某品牌型号的手机赞不绝口，这时你该怎么做？轻易地相信对方？或选择再看看别人的评价？大数定律的建议是，如果评论人数很少，这些评论就不能很好地反映商品的真实价值。

那些在网站上排名靠前、评价极高的商品、视频、资讯，可能只是因为有少数人给出了极高的分数，或是商业广告推荐。它们仅仅是个案。只有参考大部分人的评价，才更接近真实情况，数据结论才更有价值。

今天被人们经常提及和用到的蒙特卡洛方法，其理论依据就是大数定律。

蒙特卡洛方法是由数学家冯·诺伊曼、乌拉姆等人最早发明的，也称统计模拟方法。蒙特卡洛不是人名，而是摩纳哥的一座城市，它是世界上著名的赌城。蒙特卡洛方法是一种基于概率的计算方法，它将求解问题和概率模型关联起来，不断从总体中抽取随机样本，通过模拟和计算得到近似解。此方法随着计算机技术的发展被迅速普及。

蒙特卡洛方法的原理很朴实，简单来说就是不断抽样，逐渐逼近。比如要计算圆周率π，可以先让计算机模拟一个正方形和里面的一个圆，如图1-2所示。

▲图1-2 用蒙特卡洛方法计算圆周率示意图

随后让计算机不断模拟向正方形中随机地“撒点”。统计落在圆内的点的数量和所有正方形中点的数量的比值，并将它近似看成是圆形和正方形的面积的比值，即π/4。只要模拟数据点足够多，就能近似计算出圆周率π。模拟的数据越多，计算结果就越逼近真正的π值。

蒙特卡洛方法别看原理简单，其实使用起来相当灵活。它能用于很多需要“枚举”的算法，比如下围棋、走迷宫，或计算任何不规则几何图形的面积。

关于作者：徐晟，某商业银行IT技术主管，毕业于上海交通大学，从事IT技术领域工作十余年，对科技发展、人工智能有自己独到的见解，专注于智能运维（AIOps）、数据可视化、容量管理等方面工作。

本文摘编自《大话机器智能：一书看透AI的底层运行逻辑》，经出版方授权发布。（ISBN：9787111696193）

《大话机器智能：一书看透AI的底层运行逻辑》

推荐语：AI是什么？机器如何拥有“智能”？“智能”如何起作用？本书以通俗易懂的方式，勾勒人工智能的全貌，展现AI的底层运行逻辑，即AI是如何工作的。

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