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1、数学漫步：探讨正切函数tanx导数的代数与几何原理

最近我们展示了正弦，余弦函数求导的几何原理，形象直观，更容易理解，今天我们就来讲讲正切函数求导的几何原理，它在一定程度上比正弦，和余弦函数要更为复杂一点。

第一：代数下的推导方式

进行几何推导之前，我们先来欣赏一种优美的代数下的推导方法，这里用到的是分部积分法

首先将tan=sinX/cosX，运用分部积分法，我们很容易得到如下结果

最后化简，就得到tanX导数等于(1/cosX)^2

第二：几何下的推导

我们先做一个单位圆，并旋转X度时，我们可以得到用三角函数形式表示的线段，如下图所示：cosX，sinX，tanX，secX，等等。

如果把角度增加微小的量ΔX时，就得到一个微元三角形ΔABC，该三角形的面积等于1/2*Δy*1。

但ΔABC面积又等于1/2* sec(X+ΔX)* secX* sinΔX,

所以我们就得到Δy= sec(X+ΔX)* secX* sinΔX,

最终我们就得到了tanX的导数，它等于(1/cosX)^2，或者可以写成正割函数的平方secX^2。

2、tanx的平方是什么

tanx的平方是什么？

tan的平方等于(1-cos^2θ)/cos^2θ。三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。

另外，以三角函数为模版，可以定义一类相似的函数，叫做双曲函数。

常见的双曲函数也被称为双曲正弦函数、双曲余弦函数等等。三角函数（也叫做圆函数）是角的函数；它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。在正切函数的图像中，在角kπ 附近变化缓慢，而在接近角 （k+ 1/2）π 的时候变化迅速。正切函数的图像在 θ = （k+ 1/2）π 有垂直渐近线。

这是因为在 θ 从左侧接进 （k+ 1/2）π 的时候函数接近正无穷，而从右侧接近 （k+ 1/2）π 的时候函数接近负无穷。

tanx的平方为什么等于（sec的平方－）

运用三角函数的诱导公式进行变换，因为 tan x = sin x / cos x, (sin x)^2 + (cos x)^2 = 1,由此可得出以上结论。对于 sec x , 正割指的是直角三角形，斜边与某个锐角的邻边的比，叫做该锐角的正割，用 sec（角）表示。

正割是余弦函数的倒数。

函数性质(1)定义域，x不能取90度，270度，-90度，-270度等值；即为{x|x≠kπ+，k∈Z}。(2)值域，secx≥1或secx≤－1，即为。(3) y=secx是偶函数，即sec(－θ)=secθ．图像对称于y轴。(4) y=secx是周期函数，周期为2kπ(k∈Z，且k≠0)，最小正周期T=2π。

(5) 单调性：(2kπ-，2kπ]，[2kπ+π，2kπ+），k∈Z上递减；在区间[2kπ，2kπ+)，(2kπ+π/2，2kπ+π]，k∈Z上递增。

tanx的平方是什么?

tan的平方等于(1-cos^2θ)/cos^2θ。三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。

另外，以三角函数为模版，可以定义一类相似的函数，叫做双曲函数。

常见的双曲函数也被称为双曲正弦函数、双曲余弦函数等等。三角函数（也叫做圆函数）是角的函数；它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。在正切函数的图像中，在角kπ 附近变化缓慢，而在接近角 （k+ 1/2）π 的时候变化迅速。正切函数的图像在 θ = （k+ 1/2）π 有垂直渐近线。

这是因为在 θ 从左侧接进 （k+ 1/2）π 的时候函数接近正无穷，而从右侧接近 （k+ 1/2）π 的时候函数接近负无穷。另一方面，所有基本三角函数都可依据中心为O的单位圆来定义，类似于历史上使用的几何定义。特别 是，对于这个圆的弦AB，这里的 θ 是对向角的一半，sinθ是AC（半弦），这是印度的阿耶波多介入的定义。

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