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1、可导的充要条件是什么：可导的充要条件

函数可导的充要条件：1、左右导数存在且相等是可导的充分必要条件；2、可导必定连续；3、连续不一定可导。一般的，在一个变化过程中，假设有两个变量x、y，如果对于任意一个x都有唯一确定的一个y和它对应，那么就称x是自变量，y是x的函数。x的取值范围叫做这个函数的定义域，相应y的取值范围叫做函数的值域。

在数学中，连续是函数的一种属性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。

函数，最早由中国清朝数学家李善兰翻译，出于其著作《代数学》。之所以这么翻译，他给出的原因是凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。

2、走进高数一之导数理论整理

一、函数的连续性

1.连续函数的性质

◇局部有界性

◇局部保号性

◇四则运算法则

◇若f在x0连续，g在u0=f(x0)连续，则g(f(x))在x0连续

◇有界性定理（适用于闭区间）（用局部有界性与有限覆盖定理证明）

◇最大最小值定理（适用于闭区间）（用有界性定理和确界原理证明）

◇根的存在定理（适用于闭区间）（用局部保号性和区间套定理证明）

◇介值性定理（适用于闭区间）（用根的存在定理证明）

◇一致连续性定理（用有限覆盖定理证明）

二、导数和微分

1.导数的概念

◇费马定理（可导函数极值的必要条件）（用连续函数局部保号性证明）

◇导函数的介值定理（用最大最小值定理和费马定理证明）

2.求导法则

◇四则运算法则

◇反函数的导数

◇复合函数的导数及其引理

◇参变量函数的导数

◇高阶导数

3.微分

◇可微<＝>可导，且微分AΔx中的A等于导数（用有限增量公式证明）

◇微分运算法则（由导数运算法则推出）

◇高阶微分

◇一阶微分形式的不变性 / 高阶微分不具有形式不变性

4.微分中值定理

◇罗尔中值定理（用连续函数最大最小值定理与费马定理证明）

◇拉格朗日中值定理（用罗尔中值定理证明）

◇导数极限定理（用拉格朗日中值定理证明）

◇函数（严格）单调递增（减）的充要条件（用拉格朗日中值定理证明）

◇柯西中值定理（用罗尔中值定理证明）

◇洛必达法则（用柯西中值定理证明）

5.泰勒公式

◇佩亚诺余项（用洛必达法则证明）

◇拉格朗日余项（泰勒定理）（用柯西中值定理证明）

◇积分型余项（用推广的定积分分部积分法证明）

◇柯西型余项（对积分型余项使用积分第一中值定理得）

6.函数的极值

◇极值的第三充分条件：设f在x0某邻域内存在n-1阶导函数，在x0处可导，且f(k)(x0)=0 (k=1,2,...,n-1)，f(n)(x0)≠0，则：(i) 当n为偶数时，f在x0取极值，且当f(n)(x0) ＜0时取极大值，当f(n)(x0) ＞0时取极小值；(ii) 当n为奇数时，f在x0处不取极值（在x0处用n阶泰勒公式（佩亚诺余项）证明，极值第二充分条件可作为其推论）

7.凸函数的性质

◇充要条件：对I上的任意三点x1＜x2＜x3，总有(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)≤(f(x3)-f(x2))/(x3-x2)

◇充要条件：对I上的任意三点x1＜x2＜x3，总有(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)≤(f(x3)-f(x1))/(x3-x1)≤(f(x3)-f(x2))/(x3-x2)

◇充要条件：f’为I上的增函数（用上两条（引理）证）

◇充要条件：对I上的任意两点x1、x2，f(x2) ≥ f(x1)+f’(x1)(x2- x1)（用拉格朗日中值定理与上一条定理证）

◇Jensen不等式（用数学归纳法证）

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