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1、「Python」零起步数学+神经网络入门

摘要：手把手教你用(Python)零起步数学+神经网络入门！

在这篇文章中，我们将在Python中从头开始了解用于构建具有各种层神经网络（完全连接，卷积等）的小型库中的机器学习和代码。最终，我们将能够写出如下内容：

假设你对神经网络已经有一定的了解，这篇文章的目的不是解释为什么构建这些模型，而是要说明如何正确实现。

逐层

我们这里需要牢记整个框架：

1. 将数据输入神经网络

2. 在得出输出之前，数据从一层流向下一层

3. 一旦得到输出，就可以计算出一个标量误差。

4. 最后，可以通过相对于参数本身减去误差的导数来调整给定参数（权重或偏差）。

5. 遍历整个过程。

最重要的一步是第四步。 我们希望能够拥有任意数量的层，以及任何类型的层。 但是如果修改/添加/删除网络中的一个层，网络的输出将会改变，误差也将改变，误差相对于参数的导数也将改变。无论网络架构如何、激活函数如何、损失如何，都必须要能够计算导数。

为了实现这一点，我们必须分别实现每一层。

每个层应该实现什么

我们可能构建的每一层（完全连接，卷积，最大化，丢失等）至少有两个共同点：输入和输出数据。

现在重要的一部分

假设给出一个层相对于其输出（∂E/∂Y）误差的导数，那么它必须能够提供相对于其输入（∂E/∂X）误差的导数。

记住，Eæ˜¯æ ‡é‡ï¼ˆä¸€ä¸ªæ•°å­—ï¼‰ï¼ŒX和Y是矩阵。

我们可以使用链规则轻松计算∂E/∂X的元素：

为什么是∂E/∂X？

对于每一层，我们需要相对于其输入的误差导数，因为它将是相对于前一层输出的误差导数。这非常重要，这是理解反向传播的关键！在这之后，我们将能够立即从头开始编写深度卷积神经网络！

花样图解

基本上，对于前向传播，我们将输入数据提供给第一层，然后每层的输出成为下一层的输入，直到到达网络的末端。

对于反向传播，我们只是简单使用链规则来获得需要的导数。这就是为什么每一层必须提供其输出相对于其输入的导数。

这可能看起来很抽象，但是当我们将其应用于特定类型的层时，它将变得非常清楚。现在是编写第一个python类的好时机。

抽象基类：Layer

所有其它层将继承的抽象类Layer会处理简单属性，这些属性是输入，输出以及前向和反向方法。

from abc import abstractmethod# Base classclass Layer: def __init__(self): self.input = None; self.output = None; self.input_shape = None; self.output_shape = None; # computes the output Y of a layer for a given input X @abstractmethod def forward_propagation(self, input): raise NotImplementedError # computes dE/dX for a given dE/dY (and update parameters if any) @abstractmethod def backward_propagation(self, output_error, learning_rate): raise NotImplementedError

正如你所看到的，在back_propagation函数中，有一个我没有提到的参数，它是learning_rate。 此参数应该类似于更新策略或者在Keras中调用它的优化器，为了简单起见，我们只是通过学习率并使用梯度下降更新我们的参数。

全连接层

现在先定义并实现第一种类型的网络层：全连接层或FC层。FC层是最基本的网络层，因为每个输入神经元都连接到每个输出神经元。

前向传播

每个输出神经元的值由下式计算：

使用矩阵，可以使用点积来计算每一个输出神经元的值：

当完成前向传播之后，现在开始做反向传播。

反向传播

正如我们所说，假设我们有一个矩阵，其中包含与该层输出相关的误差导数（∂E/∂Y）。 我们需要 ：

1.关于参数的误差导数（∂E/∂W，∂E/∂B）

2.关于输入的误差导数（∂E/∂X）

首先计算∂E/∂W，该矩阵应与W本身的大小相同：对于ixj，其中i是输入神经元的数量，j是输出神经元的数量。每个权重都需要一个梯度：

使用前面提到的链规则，可以写出：

那么：

这就是更新权重的第一个公式！现在开始计算∂E/∂B：

同样，∂E/∂B需要与B本身具有相同的大小，每个偏差一个梯度。 我们可以再次使用链规则：

得出结论：

现在已经得到∂E/∂W和∂E/∂B，我们留下∂E/∂X这是非常重要的，因为它将“作用”为之前层的∂E/∂Y。

再次使用链规则：

最后，我们可以写出整个矩阵：

我们已经得到FC层所需的三个公式！

编码全连接层

现在我们可以用Python编写实现：

from layer import Layerimport numpy as np# inherit from base class Layerclass FCLayer(Layer): # input_shape = (1,i) i the number of input neurons # output_shape = (1,j) j the number of output neurons def __init__(self, input_shape, output_shape): self.input_shape = input_shape; self.output_shape = output_shape; self.weights = np.random.rand(input_shape[1], output_shape[1]) - 0.5; self.bias = np.random.rand(1, output_shape[1]) - 0.5; # returns output for a given input def forward_propagation(self, input): self.input = input; self.output = np.dot(self.input, self.weights) + self.bias; return self.output; # computes dE/dW, dE/dB for a given output_error=dE/dY. Returns input_error=dE/dX. def backward_propagation(self, output_error, learning_rate): input_error = np.dot(output_error, self.weights.T); dWeights = np.dot(self.input.T, output_error); # dBias = output_error # update parameters self.weights -= learning_rate * dWeights; self.bias -= learning_rate * output_error; return input_error;

激活层

到目前为止所做的计算都完全是线性的。用这种模型学习是没有希望的，需要通过将非线性函数应用于某些层的输出来为模型添加非线性。

现在我们需要为这种新类型的层（激活层）重做整个过程！

不用担心，因为此时没有可学习的参数，过程会快点，只需要计算∂E/∂X。

我们将f和f'分别称为激活函数及其导数。

前向传播

正如将看到的，它非常简单。对于给定的输入X，输出是关于每个X元素的激活函数，这意味着输入和输出具有相同的大小。

反向传播

给出∂E/∂Y，需要计算∂E/∂X

注意，这里我们使用两个矩阵之间的每个元素乘法（而在上面的公式中，它是一个点积）

编码实现激活层

激活层的代码非常简单：

from layer import Layer# inherit from base class Layerclass ActivationLayer(Layer): # input_shape = (1,i) i the number of input neurons def __init__(self, input_shape, activation, activation_prime): self.input_shape = input_shape; self.output_shape = input_shape; self.activation = activation; self.activation_prime = activation_prime; # returns the activated input def forward_propagation(self, input): self.input = input; self.output = self.activation(self.input); return self.output; # Returns input_error=dE/dX for a given output_error=dE/dY. # learning_rate is not used because there is no "learnable" parameters. def backward_propagation(self, output_error, learning_rate): return self.activation_prime(self.input) * output_error;

可以在单独的文件中编写一些激活函数以及它们的导数，稍后将使用它们构建ActivationLayer：

import numpy as np# activation function and its derivativedef tanh(x): return np.tanh(x);def tanh_prime(x): return 1-np.tanh(x)**2;

损失函数

到目前为止，对于给定的层，我们假设给出了∂E/∂Y（由下一层给出）。但是最后一层怎么得到∂E/∂Y？我们通过简单地手动给出最后一层的∂E/∂Y，它取决于我们如何定义误差。

网络的误差由自己定义，该误差衡量网络对给定输入数据的好坏程度。有许多方法可以定义误差，其中一种最常见的叫做MSE - Mean Squared Error：

其中y *和y分别表示期望的输出和实际输出。你可以将损失视为最后一层，它将所有输出神经元吸收并将它们压成一个神经元。与其他每一层一样，需要定义∂E/∂Y。除了现在，我们终于得到E！

以下是两个python函数，可以将它们放在一个单独的文件中，将在构建网络时使用。

import numpy as np# loss function and its derivativedef mse(y_true, y_pred): return np.mean(np.power(y_true-y_pred, 2));def mse_prime(y_true, y_pred): return 2*(y_pred-y_true)/y_true.size;

网络类

到现在几乎完成了！我们将构建一个Network类来创建神经网络，非常容易，类似于第一张图片！

我注释了代码的每一部分，如果你掌握了前面的步骤，那么理解它应该不会太复杂。

from layer import Layerclass Network: def __init__(self): self.layers = []; self.loss = None; self.loss_prime = None; # add layer to network def add(self, layer): self.layers.append(layer); # set loss to use def use(self, loss, loss_prime): self.loss = loss; self.loss_prime = loss_prime; # predict output for given input def predict(self, input): # sample dimension first samples = len(input); result = []; # run network over all samples for i in range(samples): # forward propagation output = input[i]; for layer in self.layers: # output of layer l is input of layer l+1 output = layer.forward_propagation(output); result.append(output); return result; # train the network def fit(self, x_train, y_train, epochs, learning_rate): # sample dimension first samples = len(x_train); # training loop for i in range(epochs): err = 0; for j in range(samples): # forward propagation output = x_train[j]; for layer in self.layers: output = layer.forward_propagation(output); # compute loss (for display purpose only) err += self.loss(y_train[j], output); # backward propagation error = self.loss_prime(y_train[j], output); # loop from end of network to beginning for layer in reversed(self.layers): # backpropagate dE error = layer.backward_propagation(error, learning_rate); # calculate average error on all samples err /= samples; print('epoch %d/%d error=%f' % (i+1,epochs,err));

构建一个神经网络

最后！我们可以使用我们的类来创建一个包含任意数量层的神经网络！为了简单起见，我将向你展示如何构建......一个XOR。

from network import Networkfrom fc_layer import FCLayerfrom activation_layer import ActivationLayerfrom losses import *from activations import *import numpy as np# training datax_train = np.array([[[0,0]], [[0,1]], [[1,0]], [[1,1]]]);y_train = np.array([[[0]], [[1]], [[1]], [[0]]]);# networknet = Network();net.add(FCLayer((1,2), (1,3)));net.add(ActivationLayer((1,3), tanh, tanh_prime));net.add(FCLayer((1,3), (1,1)));net.add(ActivationLayer((1,1), tanh, tanh_prime));# trainnet.use(mse, mse_prime);net.fit(x_train, y_train, epochs=1000, learning_rate=0.1);# testout = net.predict(x_train);print(out);

同样，我认为不需要强调很多事情，只需要仔细训练数据，应该能够先获得样本维度。例如，对于xor问题，样式应为（4,1,2）。

结果

$ python xor.py epoch 1/1000 error=0.322980epoch 2/1000 error=0.311174epoch 3/1000 error=0.307195...epoch 998/1000 error=0.000243epoch 999/1000 error=0.000242epoch 1000/1000 error=0.000242[array([[ 0.00077435]]), array([[ 0.97760742]]), array([[ 0.97847793]]), array([[-0.00131305]])]

卷积层

这篇文章开始很长，所以我不会描述实现卷积层的所有步骤。但是，这是我做的一个实现：

from layer import Layerfrom scipy import signalimport numpy as np# inherit from base class Layer# This convolutional layer is always with stride 1class ConvLayer(Layer): # input_shape = (i,j,d) # kernel_shape = (m,n) # layer_depth = output depth def __init__(self, input_shape, kernel_shape, layer_depth): self.input_shape = input_shape; self.input_depth = input_shape[2]; self.kernel_shape = kernel_shape; self.layer_depth = layer_depth; self.output_shape = (input_shape[0]-kernel_shape[0]+1, input_shape[1]-kernel_shape[1]+1, layer_depth); self.weights = np.random.rand(kernel_shape[0], kernel_shape[1], self.input_depth, layer_depth) - 0.5; self.bias = np.random.rand(layer_depth) - 0.5; # returns output for a given input def forward_propagation(self, input): self.input = input; self.output = np.zeros(self.output_shape); for k in range(self.layer_depth): for d in range(self.input_depth): self.output[:,:,k] += signal.correlate2d(self.input[:,:,d], self.weights[:,:,d,k], 'valid') + self.bias[k]; return self.output; # computes dE/dW, dE/dB for a given output_error=dE/dY. Returns input_error=dE/dX. def backward_propagation(self, output_error, learning_rate): in_error = np.zeros(self.input_shape); dWeights = np.zeros((self.kernel_shape[0], self.kernel_shape[1], self.input_depth, self.layer_depth)); dBias = np.zeros(self.layer_depth); for k in range(self.layer_depth): for d in range(self.input_depth): in_error[:,:,d] += signal.convolve2d(output_error[:,:,k], self.weights[:,:,d,k], 'full'); dWeights[:,:,d,k] = signal.correlate2d(self.input[:,:,d], output_error[:,:,k], 'valid'); dBias[k] = self.layer_depth * np.sum(output_error[:,:,k]); self.weights -= learning_rate*dWeights; self.bias -= learning_rate*dBias; return in_error;

它背后的数学实际上并不复杂！这是一篇很好的文章，你可以找到∂E/∂W，∂E/∂B和∂E/∂X的解释和计算。

如果你想验证你的理解是否正确，请尝试自己实现一些网络层，如MaxPooling，Flatten或Dropout

GitHub库

你可以在GitHub库中找到用于该文章的完整代码。

本文由阿里云云栖社区组织翻译。

文章原标题《math-neural-network-from-scratch-in-python》

作者：Omar Aflak 译者：虎说八道，审校：袁虎。

2、与领导说话50个细节：与领导说话细节

与领导说话细节

第一个：职场中等领导先挂电话。

一般在职场中很容易会碰到跟领导打电话的情况，很多人都会在打电话结束的时候纠结要不要等领导先挂。其实，这个问题是不用纠结的，高情商的人在面对这样的问题的时候，都会在最后在加一句：您还有什么事情吗？如果没有的话，那就可以直接挂断了，如果有的话也会给领导一个缓冲的机会，可能是刚才说着说着就忘记了，你的这句话正好给他提了个醒。

第二个：不管什么时候都不要跟领导发生口角。

和领导发生口角是职场中最忌讳的事情，情商高的人都会巧妙的避免和领导发生口角。只有那些容易冲动，性格大大咧咧，心直口快的人才会口误遮拦，想到什么就是什么，这样很容易就会让领导和同事对你的印象不好。所以，在职场中不管领导是对是错，都不要随随便便的就和领导发生口角之争，一定要尽量避免这种情况的.发生。

第三个：不要在领导说话的时候争着说。

人与人的相处中最忌讳的就是，别人在说话的时候你在下面说，这样对每一个人来说都是不尊重的，就比如你去听一场演讲的时候在下面说话一样，这样都是容易让对方觉得你不尊重他的。如果你让领导有了这种想法的话，那你可就要小心了，领导以后对你肯定是比之前更加的重视，他会变得对你格外的严格，只要你犯了一个错误，不管大小，那你就很有可能会被他针对。

与领导说话细节

边听边做笔记

好的工作态度，足以让你在领导和同事中更受欢迎、更受认可，从而得到他们更多的指点。

这里，首先要教给大家一个简单实用，又能表现自己工作态度很好的方法——边听边做笔记。

无论是日常议事，还是多人会议，我们经常会因为短时间内接收信息太多，而忘记、遗漏对方说过的内容。然而，忘记领导对你提出的意见、建议，甚至交代给你的任务，在职场上是个大忌。

如果你刚刚开始培养这个习惯，不妨找到领导说话的空隙，说上一句“不好意思，怕忘记，我做一下笔记”，短暂打断彼此间的谈话，再迅速从包里拿出笔记本跟笔记录下来。

一方面是避免出现忘记领导说话内容的情况，另一方面，这样一个小动作，也会让对方觉得，你的确是在认真听他讲话，他的说话方式和态度也会不自觉的变得更加诚恳。

做笔记的用意一方面是为了有效记住谈话内容，另外，这个行为还能向对方表示“我确实很认真在听你说话”。

大多数时候，人们都无法拒绝一个认真请教的人，不仅无法拒绝，还会在说话的间隙，对他产生一种信赖感。

这种信赖感一方面来源于请教者的真诚，另一方面，则会让说话者觉得自己的意见被重视了，说话时的心情舒畅了，自然就更愿意敞开心扉，尽可能地为请教者提供对他有价值的信息。

那么回归到和领导谈话这件事情上，假如你在和领导说话的时候，表现得十分真诚，那么就算领导本来是在生气，想把你叫来批评你，但一看见你这么认真地听他说话、记笔记，态度也会忍不住软化，转而积极地指导你。

汇报工作要先讲结论

领导负责的事情比你多，绝大多数时候都比你忙，很难一一关注到每个员工的表现。这个时候，汇报工作的情况，就在很大程度上决定了领导对你的看法。

除了让领导知道我们的贡献以外，还需要让领导在最短的时间里知道他想知道的内容，即快速而清晰地向领导汇报工作。

当领导或直白或隐晦地对你说出“所以结论是什么”“我没太明白你说的意思”“你到底想说什么”时，你就要特别注意，领导可能已经对你的汇报不耐烦了。

简单明了的汇报必须按照“结论理由”的流程，才不会让对方反感。只要改变一下讲话顺序，立马就会从被批变成被夸，不仅你的工作能力能更好的被领导认可，同时，领导也会觉得你可堪重任，有重要的事情时，会想到要听听你的建议。发言时，用“开头先说结论”的展开方式，不仅能改善拖泥带水的说话方式，也会让对方更想听你说话。这种顺序是文章、报告等常用的陈述架构，也是商业人士较能接受的有条理的谈话方式。

“开头先说结论”其实就是站在领导的立场来表达。

站在领导的角度来思考后，你就会发现：领导很忙，他只关心他想听到的内容，不想浪费其他时间。

所以，千万不能以“自我”为本位，滔滔不绝又毫无章法地讲着自己想说的话，

坦白表明“我不懂”

如果我们永远只在舒适区，做自己能力以内的工作，不去争取、承担更多未知的工作和领域，是很难取得进步的。那么，在接受新的工作内容时，我们除了要事先进行相关的学习以外，假如遇到不明白的地方，或是不知该如何解决的问题时，就需要向他人学习了。而给你安排这项工作的领导，往往就是你的指路明灯。真正善于沟通的人，不会偏执于“我不懂”令人羞耻，他们不会刻意隐藏自己听不懂的事实，反而会坦率地表明自己“不知道”、“不明白”。思想灵活的人不会刻板地认为说了“不知道”会令自己显得没用，反而会觉得这是“学得新知识的大好机会”。要知道，不管是初入职场的小新人，还是离开舒适区触手新领域的职场老人，就是有很多东西都不会，需要去从头学习。假如领导将一项新工作交给A某后，A某并不怎么询问，就已经开始着手工作，这时，领导心里也会犯嘀咕：他了解清楚了吗？他是否知道如何开展这项工作呢？而向领导请教过后，领导才能知道，A某在开展工作的过程中还存在哪些问题、需要哪些支持，并给予相应的指导，避免走更多弯路。我不懂”并不丢人，遇到不明白的事情，尽管坦率一点，因为，“揣着糊涂装明白”的人，才是这个世界上最无知的人。

与领导说话细节

第一个：职场中等领导先挂电话。

一般在职场中很容易会碰到跟领导打电话的情况，很多人都会在打电话结束的时候纠结要不要等领导先挂。其实，这个问题是不用纠结的，高情商的人在面对这样的问题的时候，都会在最后在加一句：您还有什么事情吗？如果没有的话，那就可以直接挂断了，如果有的话也会给领导一个缓冲的机会，可能是刚才说着说着就忘记了，你的这句话正好给他提了个醒。

第二个：不管什么时候都不要跟领导发生口角。

和领导发生口角是职场中最忌讳的事情，情商高的人都会巧妙的避免和领导发生口角。只有那些容易冲动，性格大大咧咧，心直口快的人才会口误遮拦，想到什么就是什么，这样很容易就会让领导和同事对你的印象不好。所以，在职场中不管领导是对是错，都不要随随便便的就和领导发生口角之争，一定要尽量避免这种情况的.发生。

第三个：不要在领导说话的时候争着说。

人与人的相处中最忌讳的就是，别人在说话的时候你在下面说，这样对每一个人来说都是不尊重的，就比如你去听一场演讲的时候在下面说话一样，这样都是容易让对方觉得你不尊重他的。如果你让领导有了这种想法的话，那你可就要小心了，领导以后对你肯定是比之前更加的重视，他会变得对你格外的严格，只要你犯了一个错误，不管大小，那你就很有可能会被他针对。

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