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1、「Python」零起步数学+神经网络入门

摘要：手把手教你用(Python)零起步数学+神经网络入门！

在这篇文章中，我们将在Python中从头开始了解用于构建具有各种层神经网络（完全连接，卷积等）的小型库中的机器学习和代码。最终，我们将能够写出如下内容：

假设你对神经网络已经有一定的了解，这篇文章的目的不是解释为什么构建这些模型，而是要说明如何正确实现。

逐层

我们这里需要牢记整个框架：

1. 将数据输入神经网络

2. 在得出输出之前，数据从一层流向下一层

3. 一旦得到输出，就可以计算出一个标量误差。

4. 最后，可以通过相对于参数本身减去误差的导数来调整给定参数（权重或偏差）。

5. 遍历整个过程。

最重要的一步是第四步。 我们希望能够拥有任意数量的层，以及任何类型的层。 但是如果修改/添加/删除网络中的一个层，网络的输出将会改变，误差也将改变，误差相对于参数的导数也将改变。无论网络架构如何、激活函数如何、损失如何，都必须要能够计算导数。

为了实现这一点，我们必须分别实现每一层。

每个层应该实现什么

我们可能构建的每一层（完全连接，卷积，最大化，丢失等）至少有两个共同点：输入和输出数据。

现在重要的一部分

假设给出一个层相对于其输出（∂E/∂Y）误差的导数，那么它必须能够提供相对于其输入（∂E/∂X）误差的导数。

记住，Eæ˜¯æ ‡é‡ï¼ˆä¸€ä¸ªæ•°å­—ï¼‰ï¼ŒX和Y是矩阵。

我们可以使用链规则轻松计算∂E/∂X的元素：

为什么是∂E/∂X？

对于每一层，我们需要相对于其输入的误差导数，因为它将是相对于前一层输出的误差导数。这非常重要，这是理解反向传播的关键！在这之后，我们将能够立即从头开始编写深度卷积神经网络！

花样图解

基本上，对于前向传播，我们将输入数据提供给第一层，然后每层的输出成为下一层的输入，直到到达网络的末端。

对于反向传播，我们只是简单使用链规则来获得需要的导数。这就是为什么每一层必须提供其输出相对于其输入的导数。

这可能看起来很抽象，但是当我们将其应用于特定类型的层时，它将变得非常清楚。现在是编写第一个python类的好时机。

抽象基类：Layer

所有其它层将继承的抽象类Layer会处理简单属性，这些属性是输入，输出以及前向和反向方法。

from abc import abstractmethod# Base classclass Layer: def __init__(self): self.input = None; self.output = None; self.input_shape = None; self.output_shape = None; # computes the output Y of a layer for a given input X @abstractmethod def forward_propagation(self, input): raise NotImplementedError # computes dE/dX for a given dE/dY (and update parameters if any) @abstractmethod def backward_propagation(self, output_error, learning_rate): raise NotImplementedError

正如你所看到的，在back_propagation函数中，有一个我没有提到的参数，它是learning_rate。 此参数应该类似于更新策略或者在Keras中调用它的优化器，为了简单起见，我们只是通过学习率并使用梯度下降更新我们的参数。

全连接层

现在先定义并实现第一种类型的网络层：全连接层或FC层。FC层是最基本的网络层，因为每个输入神经元都连接到每个输出神经元。

前向传播

每个输出神经元的值由下式计算：

使用矩阵，可以使用点积来计算每一个输出神经元的值：

当完成前向传播之后，现在开始做反向传播。

反向传播

正如我们所说，假设我们有一个矩阵，其中包含与该层输出相关的误差导数（∂E/∂Y）。 我们需要 ：

1.关于参数的误差导数（∂E/∂W，∂E/∂B）

2.关于输入的误差导数（∂E/∂X）

首先计算∂E/∂W，该矩阵应与W本身的大小相同：对于ixj，其中i是输入神经元的数量，j是输出神经元的数量。每个权重都需要一个梯度：

使用前面提到的链规则，可以写出：

那么：

这就是更新权重的第一个公式！现在开始计算∂E/∂B：

同样，∂E/∂B需要与B本身具有相同的大小，每个偏差一个梯度。 我们可以再次使用链规则：

得出结论：

现在已经得到∂E/∂W和∂E/∂B，我们留下∂E/∂X这是非常重要的，因为它将“作用”为之前层的∂E/∂Y。

再次使用链规则：

最后，我们可以写出整个矩阵：

我们已经得到FC层所需的三个公式！

编码全连接层

现在我们可以用Python编写实现：

from layer import Layerimport numpy as np# inherit from base class Layerclass FCLayer(Layer): # input_shape = (1,i) i the number of input neurons # output_shape = (1,j) j the number of output neurons def __init__(self, input_shape, output_shape): self.input_shape = input_shape; self.output_shape = output_shape; self.weights = np.random.rand(input_shape[1], output_shape[1]) - 0.5; self.bias = np.random.rand(1, output_shape[1]) - 0.5; # returns output for a given input def forward_propagation(self, input): self.input = input; self.output = np.dot(self.input, self.weights) + self.bias; return self.output; # computes dE/dW, dE/dB for a given output_error=dE/dY. Returns input_error=dE/dX. def backward_propagation(self, output_error, learning_rate): input_error = np.dot(output_error, self.weights.T); dWeights = np.dot(self.input.T, output_error); # dBias = output_error # update parameters self.weights -= learning_rate * dWeights; self.bias -= learning_rate * output_error; return input_error;

激活层

到目前为止所做的计算都完全是线性的。用这种模型学习是没有希望的，需要通过将非线性函数应用于某些层的输出来为模型添加非线性。

现在我们需要为这种新类型的层（激活层）重做整个过程！

不用担心，因为此时没有可学习的参数，过程会快点，只需要计算∂E/∂X。

我们将f和f'分别称为激活函数及其导数。

前向传播

正如将看到的，它非常简单。对于给定的输入X，输出是关于每个X元素的激活函数，这意味着输入和输出具有相同的大小。

反向传播

给出∂E/∂Y，需要计算∂E/∂X

注意，这里我们使用两个矩阵之间的每个元素乘法（而在上面的公式中，它是一个点积）

编码实现激活层

激活层的代码非常简单：

from layer import Layer# inherit from base class Layerclass ActivationLayer(Layer): # input_shape = (1,i) i the number of input neurons def __init__(self, input_shape, activation, activation_prime): self.input_shape = input_shape; self.output_shape = input_shape; self.activation = activation; self.activation_prime = activation_prime; # returns the activated input def forward_propagation(self, input): self.input = input; self.output = self.activation(self.input); return self.output; # Returns input_error=dE/dX for a given output_error=dE/dY. # learning_rate is not used because there is no "learnable" parameters. def backward_propagation(self, output_error, learning_rate): return self.activation_prime(self.input) * output_error;

可以在单独的文件中编写一些激活函数以及它们的导数，稍后将使用它们构建ActivationLayer：

import numpy as np# activation function and its derivativedef tanh(x): return np.tanh(x);def tanh_prime(x): return 1-np.tanh(x)**2;

损失函数

到目前为止，对于给定的层，我们假设给出了∂E/∂Y（由下一层给出）。但是最后一层怎么得到∂E/∂Y？我们通过简单地手动给出最后一层的∂E/∂Y，它取决于我们如何定义误差。

网络的误差由自己定义，该误差衡量网络对给定输入数据的好坏程度。有许多方法可以定义误差，其中一种最常见的叫做MSE - Mean Squared Error：

其中y *和y分别表示期望的输出和实际输出。你可以将损失视为最后一层，它将所有输出神经元吸收并将它们压成一个神经元。与其他每一层一样，需要定义∂E/∂Y。除了现在，我们终于得到E！

以下是两个python函数，可以将它们放在一个单独的文件中，将在构建网络时使用。

import numpy as np# loss function and its derivativedef mse(y_true, y_pred): return np.mean(np.power(y_true-y_pred, 2));def mse_prime(y_true, y_pred): return 2*(y_pred-y_true)/y_true.size;

网络类

到现在几乎完成了！我们将构建一个Network类来创建神经网络，非常容易，类似于第一张图片！

我注释了代码的每一部分，如果你掌握了前面的步骤，那么理解它应该不会太复杂。

from layer import Layerclass Network: def __init__(self): self.layers = []; self.loss = None; self.loss_prime = None; # add layer to network def add(self, layer): self.layers.append(layer); # set loss to use def use(self, loss, loss_prime): self.loss = loss; self.loss_prime = loss_prime; # predict output for given input def predict(self, input): # sample dimension first samples = len(input); result = []; # run network over all samples for i in range(samples): # forward propagation output = input[i]; for layer in self.layers: # output of layer l is input of layer l+1 output = layer.forward_propagation(output); result.append(output); return result; # train the network def fit(self, x_train, y_train, epochs, learning_rate): # sample dimension first samples = len(x_train); # training loop for i in range(epochs): err = 0; for j in range(samples): # forward propagation output = x_train[j]; for layer in self.layers: output = layer.forward_propagation(output); # compute loss (for display purpose only) err += self.loss(y_train[j], output); # backward propagation error = self.loss_prime(y_train[j], output); # loop from end of network to beginning for layer in reversed(self.layers): # backpropagate dE error = layer.backward_propagation(error, learning_rate); # calculate average error on all samples err /= samples; print('epoch %d/%d error=%f' % (i+1,epochs,err));

构建一个神经网络

最后！我们可以使用我们的类来创建一个包含任意数量层的神经网络！为了简单起见，我将向你展示如何构建......一个XOR。

from network import Networkfrom fc_layer import FCLayerfrom activation_layer import ActivationLayerfrom losses import *from activations import *import numpy as np# training datax_train = np.array([[[0,0]], [[0,1]], [[1,0]], [[1,1]]]);y_train = np.array([[[0]], [[1]], [[1]], [[0]]]);# networknet = Network();net.add(FCLayer((1,2), (1,3)));net.add(ActivationLayer((1,3), tanh, tanh_prime));net.add(FCLayer((1,3), (1,1)));net.add(ActivationLayer((1,1), tanh, tanh_prime));# trainnet.use(mse, mse_prime);net.fit(x_train, y_train, epochs=1000, learning_rate=0.1);# testout = net.predict(x_train);print(out);

同样，我认为不需要强调很多事情，只需要仔细训练数据，应该能够先获得样本维度。例如，对于xor问题，样式应为（4,1,2）。

结果

$ python xor.py epoch 1/1000 error=0.322980epoch 2/1000 error=0.311174epoch 3/1000 error=0.307195...epoch 998/1000 error=0.000243epoch 999/1000 error=0.000242epoch 1000/1000 error=0.000242[array([[ 0.00077435]]), array([[ 0.97760742]]), array([[ 0.97847793]]), array([[-0.00131305]])]

卷积层

这篇文章开始很长，所以我不会描述实现卷积层的所有步骤。但是，这是我做的一个实现：

from layer import Layerfrom scipy import signalimport numpy as np# inherit from base class Layer# This convolutional layer is always with stride 1class ConvLayer(Layer): # input_shape = (i,j,d) # kernel_shape = (m,n) # layer_depth = output depth def __init__(self, input_shape, kernel_shape, layer_depth): self.input_shape = input_shape; self.input_depth = input_shape[2]; self.kernel_shape = kernel_shape; self.layer_depth = layer_depth; self.output_shape = (input_shape[0]-kernel_shape[0]+1, input_shape[1]-kernel_shape[1]+1, layer_depth); self.weights = np.random.rand(kernel_shape[0], kernel_shape[1], self.input_depth, layer_depth) - 0.5; self.bias = np.random.rand(layer_depth) - 0.5; # returns output for a given input def forward_propagation(self, input): self.input = input; self.output = np.zeros(self.output_shape); for k in range(self.layer_depth): for d in range(self.input_depth): self.output[:,:,k] += signal.correlate2d(self.input[:,:,d], self.weights[:,:,d,k], 'valid') + self.bias[k]; return self.output; # computes dE/dW, dE/dB for a given output_error=dE/dY. Returns input_error=dE/dX. def backward_propagation(self, output_error, learning_rate): in_error = np.zeros(self.input_shape); dWeights = np.zeros((self.kernel_shape[0], self.kernel_shape[1], self.input_depth, self.layer_depth)); dBias = np.zeros(self.layer_depth); for k in range(self.layer_depth): for d in range(self.input_depth): in_error[:,:,d] += signal.convolve2d(output_error[:,:,k], self.weights[:,:,d,k], 'full'); dWeights[:,:,d,k] = signal.correlate2d(self.input[:,:,d], output_error[:,:,k], 'valid'); dBias[k] = self.layer_depth * np.sum(output_error[:,:,k]); self.weights -= learning_rate*dWeights; self.bias -= learning_rate*dBias; return in_error;

它背后的数学实际上并不复杂！这是一篇很好的文章，你可以找到∂E/∂W，∂E/∂B和∂E/∂X的解释和计算。

如果你想验证你的理解是否正确，请尝试自己实现一些网络层，如MaxPooling，Flatten或Dropout

GitHub库

你可以在GitHub库中找到用于该文章的完整代码。

本文由阿里云云栖社区组织翻译。

文章原标题《math-neural-network-from-scratch-in-python》

作者：Omar Aflak 译者：虎说八道，审校：袁虎。

2、妈妈对孩子考试鼓励的话

妈妈对孩子考试鼓励的话

1、长风破浪会有时，直挂云帆济沧海，高考是人生的一个起点，相信自己，明天又是一和个艳阳天!

2、考试加油!亲爱的朋友，平和一下自己的心态，控制自己的情绪，以平常心态应考，考完一门忘一门，让自己尽量放松，好好休息。希望你一举高中喔!

3、或许，人生不可能像自己想象的那样美好，一生的路也不可能都是平坦的，人的心情也不会永远静如止水。

4、今天就要参加考试了，送你一条幸运短信，据说在考试当天能收到这样一条短信，就会考出自己满意的成绩，祝你考试好运气啊!

5、哈哈，三年的老同学，你身上一定有门捷列夫没有发现的元素!否则，语言怎么在我最需要的时候无影无踪了呢?

6、你笔下拥有一个色彩绚丽的世界：愿你，也相信你，拥有另一个笔下灿烂的图景。高考顺利!

7、决战高考巅峰时，信心百倍增能量。真才实学浑不怕，文思隽永倍潇洒。十年磨剑试锋芒，百花丛中显芬芳。纵横考场斩关将，马到成功幸福尝!祝高考顺利!

8、快到考试的日子了，希望你干自愿事，吃顺口饭，听轻松话，睡安心觉。使自己保持良好平静的心态，不要太紧张，相信你的梦想会实现的!

9、静静的是你的心情，急急的是你的笔锋，满满的是你的信心，亮亮的是你的成绩，默默的'是我的祝福，又是一年高考时，祝金榜题名!

10、面对高考要有信心，高考之前要能平心，迎战高考要有开心，高考答卷要能细心，高考来临，愿你超水平发挥，马到成功。

11、朋友，本是知情、知己、友情人，一天不见非常想念，两天不见非常挂念，几天不见非常怀念，祝你新年财运亨通，吉祥如意!

12、榜上有名固可喜，名落孙山亦莫恼!只要努力了，就一定会成功的，祝你考试大捷。

13、风儿静静的吹动，凤凰花吐露着嫣红，不久就要各本西东;但是不要忘记彼此的约定：金榜题名，高考成功。

14、当人生面对许多选择的时候，我们需要谨慎;当我们没有选择的时候，就把压力当挑战，给自己一个信心：这个世界上只要有人能在这条路上走得很好，我就能走好!

妈妈对孩子考试鼓励的话

1、一分耕耘，一分收获，未必;九分耕耘，会有收获，一定!

2、圣人与常人之间往往只相差一小步，而这一小步却往往需要非凡的毅力才能赶上。

3、生命之中最快乐的是拼搏，而非成功，生命之中最痛苦的是懒散，而非失败。

4、高考着实是一种丰收，它包蕴着太多的内涵。无论高考成绩如何，你的成长与成熟是任何人无法改变的事实，这三年的辛勤走过，你获得的太多太多。

5、高考是一个实现人生的省力杠杆，此时是你撬动它的最佳时机，并且以后你的人生会呈弧线上升。

6、对于18岁的我们来说，有些事情的确会影响我们的一生，但是没有一件事能决定我们的一生!

7、决定心理的那片天空是否阴霾甚至是乌云密布的唯一因素是你自己，不能让自己永远有一个阳光灿烂的心情的人本身就是一个失败。

8、作为一次经历，失败有时比成功更有价值。失败可以给我们留下更深刻而持久的记忆和思考。

妈妈对孩子考试鼓励的话

1 、寒窗苦读十余载，快乐辛酸不间断。多年梦想今成真，胸有成竹赴考场。仔细审题不粗心，下笔从容如有神。志得意满出考场，单等金榜题名时。祝高考取得好成绩！

2 、喜鹊枝头喳喳叫，鱼跃龙门真骄傲，高等学府去深造，全家上下乐陶陶，十年苦读有回报，有志之人终欢笑，锦绣前程真美好，实现梦想在今朝，壮志凌云步步高！

3 、执的是自信之笔，答的是满意之卷;写的`是高分之字，考的是幸运之篇;做的是如意之题，挥的是称心之汗;吹的是成功之号，打的是胜利之战。祝你高考顺利，金榜题名。

4 、校园里寂静无声，教室里聚精会神。老师的脚步轻轻，学生的笔儿不停。十年辛苦此时博，只愿金榜题名慰双亲。全国高考日到了，愿你超常发挥创佳绩，成绩傲人开心笑！

5 、用信心做笔，雄心做卷，用心执笔答称心之卷。顺心做陪，舒心作伴，满心乐观获甜心之绩。除去忧心，放下担心，万事遂心，盼你开心。祝你高考顺利，金榜题名，马到成功。

6 、全国高考日来到，大街小巷静悄悄。莘莘学子多辛劳，勤奋学习为高考。街坊邻居情谊好，保证孩子睡好觉。但愿金榜题名笑声高，感谢之情溢言表。祝高考取得好成绩！

7 、高考是战场，自信满满增胆量，考题面前不慌张，仔细认真答题忙;高考也不是战场，人生成败非一场，成功未必美名扬，失败未必无下场。全国高考日到了，愿你正确对待，取得佳绩！

8 、今日高考成绩到，金榜题名心喜欢。亲朋好友来祝贺，热心询问填志愿。热门专业不愿选，自己兴趣最当先。未必非要名校去，努力实干效果显。愿你梦想早实现，心想事成笑开颜！

9 、开门，开门，你倒是开门啊，喜报，喜报，恭喜发财，红包拿来，我是专门来递给你大红的录取证书的哦。大爷，给点赏钱，我就立马走人，不然哼~哼~。你自己看着办吧。

10 、书海遨游十几载，今朝学成试锋芒。考场之上不慌张，才如泉涌锦华章。胸有成竹自信在，难题轻易就解开。满面笑容出考场，只待金榜题名时。全国高考日，祝你取得好成绩！

11 、炎炎夏日里，高考又来临;抖擞精气神，步入考场中;考卷拈在手，下笔如有神;胸中万卷书，答题如流水;心中有才情，文采尽飞扬。祝各位莘莘学子高考顺利，马到功成！

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