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1、「Python」零起步数学+神经网络入门

摘要：手把手教你用(Python)零起步数学+神经网络入门！

在这篇文章中，我们将在Python中从头开始了解用于构建具有各种层神经网络（完全连接，卷积等）的小型库中的机器学习和代码。最终，我们将能够写出如下内容：

假设你对神经网络已经有一定的了解，这篇文章的目的不是解释为什么构建这些模型，而是要说明如何正确实现。

逐层

我们这里需要牢记整个框架：

1. 将数据输入神经网络

2. 在得出输出之前，数据从一层流向下一层

3. 一旦得到输出，就可以计算出一个标量误差。

4. 最后，可以通过相对于参数本身减去误差的导数来调整给定参数（权重或偏差）。

5. 遍历整个过程。

最重要的一步是第四步。 我们希望能够拥有任意数量的层，以及任何类型的层。 但是如果修改/添加/删除网络中的一个层，网络的输出将会改变，误差也将改变，误差相对于参数的导数也将改变。无论网络架构如何、激活函数如何、损失如何，都必须要能够计算导数。

为了实现这一点，我们必须分别实现每一层。

每个层应该实现什么

我们可能构建的每一层（完全连接，卷积，最大化，丢失等）至少有两个共同点：输入和输出数据。

现在重要的一部分

假设给出一个层相对于其输出（∂E/∂Y）误差的导数，那么它必须能够提供相对于其输入（∂E/∂X）误差的导数。

记住，Eæ˜¯æ ‡é‡ï¼ˆä¸€ä¸ªæ•°å­—ï¼‰ï¼ŒX和Y是矩阵。

我们可以使用链规则轻松计算∂E/∂X的元素：

为什么是∂E/∂X？

对于每一层，我们需要相对于其输入的误差导数，因为它将是相对于前一层输出的误差导数。这非常重要，这是理解反向传播的关键！在这之后，我们将能够立即从头开始编写深度卷积神经网络！

花样图解

基本上，对于前向传播，我们将输入数据提供给第一层，然后每层的输出成为下一层的输入，直到到达网络的末端。

对于反向传播，我们只是简单使用链规则来获得需要的导数。这就是为什么每一层必须提供其输出相对于其输入的导数。

这可能看起来很抽象，但是当我们将其应用于特定类型的层时，它将变得非常清楚。现在是编写第一个python类的好时机。

抽象基类：Layer

所有其它层将继承的抽象类Layer会处理简单属性，这些属性是输入，输出以及前向和反向方法。

from abc import abstractmethod# Base classclass Layer: def __init__(self): self.input = None; self.output = None; self.input_shape = None; self.output_shape = None; # computes the output Y of a layer for a given input X @abstractmethod def forward_propagation(self, input): raise NotImplementedError # computes dE/dX for a given dE/dY (and update parameters if any) @abstractmethod def backward_propagation(self, output_error, learning_rate): raise NotImplementedError

正如你所看到的，在back_propagation函数中，有一个我没有提到的参数，它是learning_rate。 此参数应该类似于更新策略或者在Keras中调用它的优化器，为了简单起见，我们只是通过学习率并使用梯度下降更新我们的参数。

全连接层

现在先定义并实现第一种类型的网络层：全连接层或FC层。FC层是最基本的网络层，因为每个输入神经元都连接到每个输出神经元。

前向传播

每个输出神经元的值由下式计算：

使用矩阵，可以使用点积来计算每一个输出神经元的值：

当完成前向传播之后，现在开始做反向传播。

反向传播

正如我们所说，假设我们有一个矩阵，其中包含与该层输出相关的误差导数（∂E/∂Y）。 我们需要 ：

1.关于参数的误差导数（∂E/∂W，∂E/∂B）

2.关于输入的误差导数（∂E/∂X）

首先计算∂E/∂W，该矩阵应与W本身的大小相同：对于ixj，其中i是输入神经元的数量，j是输出神经元的数量。每个权重都需要一个梯度：

使用前面提到的链规则，可以写出：

那么：

这就是更新权重的第一个公式！现在开始计算∂E/∂B：

同样，∂E/∂B需要与B本身具有相同的大小，每个偏差一个梯度。 我们可以再次使用链规则：

得出结论：

现在已经得到∂E/∂W和∂E/∂B，我们留下∂E/∂X这是非常重要的，因为它将“作用”为之前层的∂E/∂Y。

再次使用链规则：

最后，我们可以写出整个矩阵：

我们已经得到FC层所需的三个公式！

编码全连接层

现在我们可以用Python编写实现：

from layer import Layerimport numpy as np# inherit from base class Layerclass FCLayer(Layer): # input_shape = (1,i) i the number of input neurons # output_shape = (1,j) j the number of output neurons def __init__(self, input_shape, output_shape): self.input_shape = input_shape; self.output_shape = output_shape; self.weights = np.random.rand(input_shape[1], output_shape[1]) - 0.5; self.bias = np.random.rand(1, output_shape[1]) - 0.5; # returns output for a given input def forward_propagation(self, input): self.input = input; self.output = np.dot(self.input, self.weights) + self.bias; return self.output; # computes dE/dW, dE/dB for a given output_error=dE/dY. Returns input_error=dE/dX. def backward_propagation(self, output_error, learning_rate): input_error = np.dot(output_error, self.weights.T); dWeights = np.dot(self.input.T, output_error); # dBias = output_error # update parameters self.weights -= learning_rate * dWeights; self.bias -= learning_rate * output_error; return input_error;

激活层

到目前为止所做的计算都完全是线性的。用这种模型学习是没有希望的，需要通过将非线性函数应用于某些层的输出来为模型添加非线性。

现在我们需要为这种新类型的层（激活层）重做整个过程！

不用担心，因为此时没有可学习的参数，过程会快点，只需要计算∂E/∂X。

我们将f和f'分别称为激活函数及其导数。

前向传播

正如将看到的，它非常简单。对于给定的输入X，输出是关于每个X元素的激活函数，这意味着输入和输出具有相同的大小。

反向传播

给出∂E/∂Y，需要计算∂E/∂X

注意，这里我们使用两个矩阵之间的每个元素乘法（而在上面的公式中，它是一个点积）

编码实现激活层

激活层的代码非常简单：

from layer import Layer# inherit from base class Layerclass ActivationLayer(Layer): # input_shape = (1,i) i the number of input neurons def __init__(self, input_shape, activation, activation_prime): self.input_shape = input_shape; self.output_shape = input_shape; self.activation = activation; self.activation_prime = activation_prime; # returns the activated input def forward_propagation(self, input): self.input = input; self.output = self.activation(self.input); return self.output; # Returns input_error=dE/dX for a given output_error=dE/dY. # learning_rate is not used because there is no "learnable" parameters. def backward_propagation(self, output_error, learning_rate): return self.activation_prime(self.input) * output_error;

可以在单独的文件中编写一些激活函数以及它们的导数，稍后将使用它们构建ActivationLayer：

import numpy as np# activation function and its derivativedef tanh(x): return np.tanh(x);def tanh_prime(x): return 1-np.tanh(x)**2;

损失函数

到目前为止，对于给定的层，我们假设给出了∂E/∂Y（由下一层给出）。但是最后一层怎么得到∂E/∂Y？我们通过简单地手动给出最后一层的∂E/∂Y，它取决于我们如何定义误差。

网络的误差由自己定义，该误差衡量网络对给定输入数据的好坏程度。有许多方法可以定义误差，其中一种最常见的叫做MSE - Mean Squared Error：

其中y *和y分别表示期望的输出和实际输出。你可以将损失视为最后一层，它将所有输出神经元吸收并将它们压成一个神经元。与其他每一层一样，需要定义∂E/∂Y。除了现在，我们终于得到E！

以下是两个python函数，可以将它们放在一个单独的文件中，将在构建网络时使用。

import numpy as np# loss function and its derivativedef mse(y_true, y_pred): return np.mean(np.power(y_true-y_pred, 2));def mse_prime(y_true, y_pred): return 2*(y_pred-y_true)/y_true.size;

网络类

到现在几乎完成了！我们将构建一个Network类来创建神经网络，非常容易，类似于第一张图片！

我注释了代码的每一部分，如果你掌握了前面的步骤，那么理解它应该不会太复杂。

from layer import Layerclass Network: def __init__(self): self.layers = []; self.loss = None; self.loss_prime = None; # add layer to network def add(self, layer): self.layers.append(layer); # set loss to use def use(self, loss, loss_prime): self.loss = loss; self.loss_prime = loss_prime; # predict output for given input def predict(self, input): # sample dimension first samples = len(input); result = []; # run network over all samples for i in range(samples): # forward propagation output = input[i]; for layer in self.layers: # output of layer l is input of layer l+1 output = layer.forward_propagation(output); result.append(output); return result; # train the network def fit(self, x_train, y_train, epochs, learning_rate): # sample dimension first samples = len(x_train); # training loop for i in range(epochs): err = 0; for j in range(samples): # forward propagation output = x_train[j]; for layer in self.layers: output = layer.forward_propagation(output); # compute loss (for display purpose only) err += self.loss(y_train[j], output); # backward propagation error = self.loss_prime(y_train[j], output); # loop from end of network to beginning for layer in reversed(self.layers): # backpropagate dE error = layer.backward_propagation(error, learning_rate); # calculate average error on all samples err /= samples; print('epoch %d/%d error=%f' % (i+1,epochs,err));

构建一个神经网络

最后！我们可以使用我们的类来创建一个包含任意数量层的神经网络！为了简单起见，我将向你展示如何构建......一个XOR。

from network import Networkfrom fc_layer import FCLayerfrom activation_layer import ActivationLayerfrom losses import *from activations import *import numpy as np# training datax_train = np.array([[[0,0]], [[0,1]], [[1,0]], [[1,1]]]);y_train = np.array([[[0]], [[1]], [[1]], [[0]]]);# networknet = Network();net.add(FCLayer((1,2), (1,3)));net.add(ActivationLayer((1,3), tanh, tanh_prime));net.add(FCLayer((1,3), (1,1)));net.add(ActivationLayer((1,1), tanh, tanh_prime));# trainnet.use(mse, mse_prime);net.fit(x_train, y_train, epochs=1000, learning_rate=0.1);# testout = net.predict(x_train);print(out);

同样，我认为不需要强调很多事情，只需要仔细训练数据，应该能够先获得样本维度。例如，对于xor问题，样式应为（4,1,2）。

结果

$ python xor.py epoch 1/1000 error=0.322980epoch 2/1000 error=0.311174epoch 3/1000 error=0.307195...epoch 998/1000 error=0.000243epoch 999/1000 error=0.000242epoch 1000/1000 error=0.000242[array([[ 0.00077435]]), array([[ 0.97760742]]), array([[ 0.97847793]]), array([[-0.00131305]])]

卷积层

这篇文章开始很长，所以我不会描述实现卷积层的所有步骤。但是，这是我做的一个实现：

from layer import Layerfrom scipy import signalimport numpy as np# inherit from base class Layer# This convolutional layer is always with stride 1class ConvLayer(Layer): # input_shape = (i,j,d) # kernel_shape = (m,n) # layer_depth = output depth def __init__(self, input_shape, kernel_shape, layer_depth): self.input_shape = input_shape; self.input_depth = input_shape[2]; self.kernel_shape = kernel_shape; self.layer_depth = layer_depth; self.output_shape = (input_shape[0]-kernel_shape[0]+1, input_shape[1]-kernel_shape[1]+1, layer_depth); self.weights = np.random.rand(kernel_shape[0], kernel_shape[1], self.input_depth, layer_depth) - 0.5; self.bias = np.random.rand(layer_depth) - 0.5; # returns output for a given input def forward_propagation(self, input): self.input = input; self.output = np.zeros(self.output_shape); for k in range(self.layer_depth): for d in range(self.input_depth): self.output[:,:,k] += signal.correlate2d(self.input[:,:,d], self.weights[:,:,d,k], 'valid') + self.bias[k]; return self.output; # computes dE/dW, dE/dB for a given output_error=dE/dY. Returns input_error=dE/dX. def backward_propagation(self, output_error, learning_rate): in_error = np.zeros(self.input_shape); dWeights = np.zeros((self.kernel_shape[0], self.kernel_shape[1], self.input_depth, self.layer_depth)); dBias = np.zeros(self.layer_depth); for k in range(self.layer_depth): for d in range(self.input_depth): in_error[:,:,d] += signal.convolve2d(output_error[:,:,k], self.weights[:,:,d,k], 'full'); dWeights[:,:,d,k] = signal.correlate2d(self.input[:,:,d], output_error[:,:,k], 'valid'); dBias[k] = self.layer_depth * np.sum(output_error[:,:,k]); self.weights -= learning_rate*dWeights; self.bias -= learning_rate*dBias; return in_error;

它背后的数学实际上并不复杂！这是一篇很好的文章，你可以找到∂E/∂W，∂E/∂B和∂E/∂X的解释和计算。

如果你想验证你的理解是否正确，请尝试自己实现一些网络层，如MaxPooling，Flatten或Dropout

GitHub库

你可以在GitHub库中找到用于该文章的完整代码。

本文由阿里云云栖社区组织翻译。

文章原标题《math-neural-network-from-scratch-in-python》

作者：Omar Aflak 译者：虎说八道，审校：袁虎。

2、夫妻间越来越陌生语录句子

夫妻间越来越陌生语录句子

1，一段感情，最怕熟悉后的陌生。曾经一个很爱你的人，忽然离你很远，咫尺之距，却是天涯之遥。

2，曾经的轰轰烈烈，曾经的千回百转，曾经的沾沾自喜，曾经的柔肠寸断，到了最后，竟然是悄无声息，都是不了了之变陌生。

3，凌晨三点翻了认识后的半年内聊天记录，原来是这样从陌生变的彼此好奇，通过分享彼此生活变得熟悉，可终究又变陌生了。

4，不要跟我太熟，并不是难以接近，而是怕了熟悉后的陌生。

5，最怕熟悉后的陌生……那感觉很恶心！

6，两个人因为陌生好奇而走近，却因为熟悉后的理解而分开。这大概是这世上最令人无奈的事情之一。

7，最怕，喧嚣后的落寞，熟悉后的陌生，然而，我得慢慢习惯，学会坦然面对。

8，害怕熟悉后的陌生，热情后的冷漠，忽冷忽热。。。

9，人，最怕的是：信任后的欺骗，真心后的敷衍；付出后的冷落，掏心后的寂寞；熟悉后的陌生，陪伴后的厌倦；深情后的无视，转身后的凉薄。

10，我只是害怕靠近后的渐远，熟悉后的陌生，所以也保持着一个最好的关系再也不进入彼此的世界！

11，再合适的两个人，如果不去关心，慢慢就陌生了！再深的感情，如果不去呵护，慢慢就淡了！许多熟悉的事，不去回味，渐渐就忘了！

12，“晚安”，这两个简单的字，有谁能一天不落的对你说一辈子？问候越来越少，交集也越来越少，一生中遇见成千上万的人，到最后都成了路人。

夫妻间越来越陌生语录句子

1，一段感情，最怕熟悉后的陌生。曾经一个很爱你的人，忽然离你很远，咫尺之距，却是天涯之遥。

2，曾经的轰轰烈烈，曾经的千回百转，曾经的沾沾自喜，曾经的柔肠寸断，到了最后，竟然是悄无声息，都是不了了之变陌生。

3，凌晨三点翻了认识后的半年内聊天记录，原来是这样从陌生变的彼此好奇，通过分享彼此生活变得熟悉，可终究又变陌生了。

4，不要跟我太熟，并不是难以接近，而是怕了熟悉后的陌生。

5，最怕熟悉后的陌生……那感觉很恶心！

6，两个人因为陌生好奇而走近，却因为熟悉后的理解而分开。这大概是这世上最令人无奈的事情之一。

7，最怕，喧嚣后的落寞，熟悉后的陌生，然而，我得慢慢习惯，学会坦然面对。

8，害怕熟悉后的陌生，热情后的冷漠，忽冷忽热。。。

9，人，最怕的是：信任后的欺骗，真心后的敷衍；付出后的冷落，掏心后的寂寞；熟悉后的陌生，陪伴后的厌倦；深情后的无视，转身后的凉薄。

10，我只是害怕靠近后的渐远，熟悉后的陌生，所以也保持着一个最好的关系再也不进入彼此的世界！

11，再合适的两个人，如果不去关心，慢慢就陌生了！再深的感情，如果不去呵护，慢慢就淡了！许多熟悉的事，不去回味，渐渐就忘了！

12，“晚安”，这两个简单的字，有谁能一天不落的对你说一辈子？问候越来越少，交集也越来越少，一生中遇见成千上万的人，到最后都成了路人。

夫妻间越来越陌生语录句子

1、时光把你从我心里带走了啊，它并没有问我愿不愿意。

2、长长久久的爱恋，是幸福的厮守。

3、记住不代表是永远，忘记不代表没发生。

4、对你的思念，就像寒冷的北风，吹在我赤裸的心上，隐隐发痛。

5、最心痛的现在，曾是最美好的曾经。

6、原谅我这一生不羁放纵的爱自由，也会怕有一天会跌倒。

7、我把爱情，把记忆都还给你，我什么都不要了，你把心还给我好不好？

8、我想我没那么坚强，不过是一而再的逞强。

9、曾经以为，拥有是不容易的；后来才知道，舍弃更难。

10、如果有一天我放弃了，你要知道是因为你的不在乎。

11、成长的过程总是要经历几次坎坷、遇见几个人，然后看清世事的。

12、爱人在身旁，处处是天堂。

13、醉的人们举起酒杯，笑得眼里全是泪。

14、谁的青春不是这样，站在时光的风口浪尖上。

15、这个世界没有忘不掉的情，只有未死的心。

16、你和我大概都有苦衷，所以最后无法成为我们。

17、不以爱情为目的的婚姻，怎么可能幸福。

18、爱是恩慈，爱是恒久忍耐，爱是永无止息。

19、这个世界请谁都别说谁脏，卑劣的虚伪才是这个世界最认真的坦诚。

20、我选择大踏步不回头，管他风景之后为何动。

21、幸福就是，虽然上课没听，但发现听的人都没听懂。

22、总有一个人教会你成长，然后他独自离开。

23、有时候，若要得到最想要的东西，就得去做最不愿做的事。

24、你换了发型，开始对每个人谦和有礼，你看到我淡淡的一笑，陌生的让人想流泪。

25、你的心太拥挤，只怕是不能再多容下我这个人。

26、早该想到这样的结局，不久也会有人把我永远的代替。

27、爱到收不住，才是真的输。

28、世界上没有未完成的故事，只有未死的心。

29、人变了心，言而无信。人断了情，无谓伤心！

30、很多我们以为一辈子都不会忘掉的事情，就在我们念念不忘的日子里被我们遗忘了。

31、这么不要脸，这么没心没肺，你的体重应该会很轻吧。

32、我偷偷躲在这样无奈的夜色里，独自编织忧伤与寂寞，讪笑岁月的沧桑。

33、每天重复过着一样的生活，没有任何意义。

34、年散年，就如同两年前那个梦一样真实。

35、每个人心中都有一段悲伤，想隐藏，却欲盖弥彰。

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