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高斯定律是什么,<2>——高斯定理的证明

04-30 互联网 未知 投稿

关于【高斯定律是什么】,今天向乾小编给您分享一下,如果对您有所帮助别忘了关注本站哦。

1、高斯定律是什么:算术-几何平均数(2)——高斯定理的证明

回顾

之前的文章中介绍了高斯在22岁的时候关于算术-几何平均数的一些研究,先回顾一下:

对两个正数a和b,计算它们的算术平均(a+b)/2和几何平均√ab,再计算两个新数的算术平均和几何平均,无限地进行下去,这个过程中两个数会趋于同一个极限,高斯将这个极限叫做a和b的算术-几何平均(Arithmetic-Geometric Mean)。记为AGM(a,b)。

用数学语言描述,就是:

对两个正数(不妨设0<a≤b),有

高斯定律是什么,<2>——高斯定理的证明

然后,高斯发现了如下定理

高斯定律是什么,<2>——高斯定理的证明

这个表达式看起来还挺“美”的,如何证明呢?只是计算平均,最后的表达式中竟然会出现π,三角函数,还有积分,高斯为什么会想到这些看起来毫无关联的东西呢???

先回答第一个问题。

定理的证明

(这部分比较专业,有点复杂,不想了解证明细节的话可以跳过直接看第三部分,小编对这个证明的一些思考。)

我们知道,一旦正数a和b确定,则AGM(a,b)也就确定了。AGM(a,b)其实就是关于a和b的一个二元函数。显然,这个二元函数具有以下性质:

(0).非负性:AGM(a,b)>0

(1).对称性:AGM(a,b)=AGM(b,a)

(2).单调性:若a1≥a2>0,则AGM(a1,b)≥AGM(a2,b)

(3).不变性:AGM(a,b)=AGM(√ab,(a+b)/2)

(4).齐次性:对任意正数k,都有AGM(ka,kb)=k*AGM(a,b)

(5).其他性质(小编暂时没想出来)

非负性和对称性显然,单调性也不用说,最为关键的是不变性。这是AGM(a,b)的核心性质。想一想,为什么AGM(a,b)=AGM(√ab,(a+b)/2)?

很简单,因为以a,b为计算起点,第一步计算以后就得到√ab和(a+b)/2,然后是第二步,第三步,最后收敛到的AGM(a,b)既是a和b的算术-几何平均,当然也是每一步得到的an和bn的算术-几何平均。

现在回过头来看AGM(a,b)的表达式。如果我们能够证明,

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那么由数学归纳法,对任意n都有

高斯定律是什么,<2>——高斯定理的证明

则令n趋于无穷,有an和bn趋于AGM(a,b),从而

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高斯定律是什么,<2>——高斯定理的证明

现在问题就清晰了,只要证明

高斯定律是什么,<2>——高斯定理的证明

即可!

维基百科上面给了一个极其“简单”的证明:

高斯定律是什么,<2>——高斯定理的证明

只需作变量代换

高斯定律是什么,<2>——高斯定理的证明

高斯定律是什么,<2>——高斯定理的证明

得证!

。。。

。。。

还是别管这个证明方法,脚踏实地,一步步来吧。

碰到积不出来的三角函数的积分,一般思路是变量代换,将三角函数去掉,变成关于新变量的一些有理或无理函数的积分,比如常见的万能代换。有时候这个过程会也反过来。

第一步,作变量代换t=b tanθ,则

高斯定律是什么,<2>——高斯定理的证明

看起来更工整了,而且惊喜的是,a和b的对称性非常明显!之前的表达式中,a和b前面的系数一个是正弦,一个是余弦,看起来不那么对称。而新的表达式中,a和b的地位完全等同,完美地符合了“对称性”的要求。这就是在暗示我们,方向没错,这个代换有前途,可以继续。

于是问题就变成了证明

高斯定律是什么,<2>——高斯定理的证明

将左边右边展开,通过“两面夹”和试凑法,多次尝试,最后可发现:

作变量代换

高斯定律是什么,<2>——高斯定理的证明

证明完毕。

虽然过程稍显复杂,但其实并没有什么技术上的难度。说到底,这只是证明,而不是求解。

事实上,证明还可以更简单。由齐次性可知AGM(a,b)=a*AGM(1,b/a)。所以我们只需要研究1和其他数的算术几何平均,那么就知道任意两个数的算术几何平均了。。也就是,证明AGM(1,k)=AGM(√k,(1+k)/2)即可。

本来是求包含两个变量的函数,现在只包含一个变量,大大大大减小了难度。

这样又该如何证明呢?这个小问题留给你们了!

思考

第二个问题,我想除了高斯,谁也不知道。毕竟斯人已逝,而且高斯常说,“当一幢建筑物完成时,应该把脚手架拆除干净”。有数学家形容高斯“就像一只狐狸,用尾巴扫砂子来掩盖自己的足迹”。谁也不知道这个天才的思维轨迹。

小编不自量力,在此稍作揣摩,见笑大方了。

第一,看本质。高斯会分析这个算术-几何平均AGM(a,b)应该具有哪些性质。就是上面的几点,对称性,非负性,不变性,齐次性等等。当然,以高斯的眼光,肯定还能看到其他我没想到的性质。

第二,找规律。高斯当然会计算一些数的算术-几何平均。由齐次性,他只需要计算1和其他数的算术几何平均,比如说,

AGM(1,2)=1.4567910310469068692...

AGM(1,3)=1.8636167832448965424...

AGM(1,4)=2.2430285802876025701...

...

似乎没什么规律。杂乱无章,但“没有规律”也是一种规律,杂乱无章的数字,不由地让人想到,这是不是某个数的平方根,立方根?这个很容易检验。然后发现都不是。那会不会是超越数?最常见的超越数是π和e,那么结果会不是和这两个数有关?

第三,看前人。我想,高斯可能受到欧拉的启发。

1728年,数学爱好者哥德巴赫希望把阶乘推广到任意实数上,比如说,我们知道3!=1×2×3=6,5!=1×2×3×4×5=120,哥德巴赫想,1.4!=?π!=?这个数学爱好者对此一筹莫展,于是写信请教欧拉。欧拉经过研究,于1729年完美地解决了这个问题,他通过积分定义了一个新函数:

高斯定律是什么,<2>——高斯定理的证明

一举将阶乘函数推广到可以计算任意复数z的阶乘。这就是著名的伽马函数。

极其巧合的是,当时欧拉也是22岁。

高斯定律是什么,<2>——高斯定理的证明

欧拉

(备注:后来,出于某种考量,人们把被积函数中的x^z改成x^(z-1),成为现在经典的伽马函数。文章这里写的是欧拉一开始的形式)

所以高斯也会尝试,用积分来定义这个他找不到初等形式的AGM(a,b)。

这样,高斯可能拿e试了试,发现不行,然后再试试会不会跟π有关。想到π,也就想到了三角函数。再联系函数所具有的性质,经过直觉和试探,最后高斯终于发现了AGM(a,b)的表达式。

2、高斯定律是什么,高斯定律的简介

高斯定律是什么?高斯定律(Gauss law),属物理定律在静电场中,穿过任一封闭曲面的电场强度通量只与封闭曲面内的电荷的代数和有关,且等于封闭曲面的电荷的代数和除以真空中的电容率,下面我们就来聊聊关于高斯定律是什么?接下来我们就一起去了解一下吧!

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高斯定律是什么

高斯定律(Gauss law),属物理定律。在静电场中,穿过任一封闭曲面的电场强度通量只与封闭曲面内的电荷的代数和有关,且等于封闭曲面的电荷的代数和除以真空中的电容率。

该定律表明在闭合曲面内的电荷分布与产生的电场之间的关系。

静电场中通过任意闭合曲面(称高斯面)S 的电通量等于该闭合面内全部电荷的代数和除以真空中的电容率,与面外的电荷无关。

利用高斯定理求解场强有一定局限性,一般只能对具有某种对称性分布的场强可求解。

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