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1、第二次数学危机：第二次数学危机：因芝诺的乌龟引出“无穷小”，微积分横空出世

上次我们已经讲了第一次数学危机，这是一场由毕达哥拉斯学派引发的危机，从提出到解决，用了近一百年。这次危机为数学发展带来了无理数，将数学理论发展带到了一个新的高度，感兴趣的朋友可去主页查看。

今天我们就来聊聊第二次数学危机，这次危机导致了微积分的出现，给人类发展带来翻天覆地的变化，整个人类现代科学发展史都因此改变。值得一提的是，第二次数学危机在古希腊时期就已初现萌芽，和第一次数学危机爆发基本处于同一时期。由此可见，西方世界古代科学的心脏，基本就是古希腊确定无疑了。

当时有个叫做芝诺的数学家，这个人偏爱悖论，其中非常著名的就是“芝诺的乌龟”。这个“乌龟”还和拉普拉斯兽、麦克斯韦妖，薛定谔的猫组成了大名鼎鼎的物理学四大神兽。

芝诺研究了大量的悖论，只为了一件事：反驳时间和空间的连续性。在这个过程中，有很多著名的悖论被提出，比如什么“芝诺的乌龟”问题，“飞矢不动”问题，就是其中比较著名的。其中“芝诺的乌龟”讲的是阿基里斯追赶一只乌龟的故事：

阿基里斯在古希腊的传说里，是一个英雄（神与人的子嗣），他以速度快而闻名，全身刀枪不入，只有脚后跟是他的罩门，后来也因此而死。

有一次，阿基里斯遇到了一只乌龟。乌龟对阿基里斯说：“虽然你跑得快，但是你永远无法追上我。”阿基里斯就奇怪了，问乌龟：“为啥呀？”，乌龟说：“因为我在你前面，假如我们的距离是1000米，你的速度是10米/秒，我的速度是1米/秒。你想要追上我，就有这么几个阶段。”

1、你跑完1000米，花100秒，在这个时间段内，我向前走了100米，我还在你前面。

2、你跑完剩下的100米，又花了10秒，在这个时间段内，我又跑了10米。

3、你继续追赶10米，花了1秒，我则又跑了1米。

乌龟说：按照这个过程追赶下来，我一直在你前面。虽然我们之间的距离虽然越来越近，但是始终存在一个微小的距离，因此，阿基里斯你永远也追不上我。

按照乌龟的说法，他们二者之间的距离只会不停地变小，但是永远不会变成0，因此阿基里斯永远也追不上乌龟。但是我们知道，事实不是这样的，阿基里斯是能追上乌龟的，但是我们又说不出个所以然来，那这个问题出在哪里呢？

我们完全可以将阿基里斯需要追赶的距离算出来：

S=1000+100+10+1+0.1+···10^（4-n）米。

这是一个比值为1/10的等比数列，大家知道一直加下去是多少吗？

S=[10^4-10^（4-n）]/9米，n趋近于无穷大。

追赶所需要的时间：

T=100+10+1+0.1+···10^（3-n）秒。

这也是一个比值为1/10的等比数列，同样的道理。

T=[10^3-10^（3-n）]/9秒，n趋近于无穷大。

当n趋近于无穷大的时候，都趋近于无穷小，所以我们可以将10^（4-n）和10^（3-n）叫做无穷小项。在芝诺悖论里存在的问题就是：它将一个有限的长度分成了无限多份，但是被分成的这无限多份加起来并不是无穷大。

这个问题的答案很简单，现在我们知道S=10000/9米，T=1000/9秒。但是在这个过程中，我们认识到了一个非常重要的概念：无穷小。当时古希腊的数学家们没来得及深入研究这个概念，古希腊文明就走向了没落，因此就不了了之了。

这个问题就这样一直被耽搁，直到欧洲文艺复兴爆发，这个问题才开始被重新研究。在此期间，欧洲出现了几个数学上的“猛人”，牛顿、莱布尼茨就是其中的佼佼者。他们两个人各自独立地发明了一项惊天动地的数学工具：微积分。（虽然牛顿和莱布尼茨为此争论不休，但是现在普遍认为微积分他们是各自单独发明的）

在微积分的领域里，有一个非常重要的概念：导数这个在高中数学里有大量的介绍，我们在此不做过多解释，对于一个函数y=f(x)，图像上任意一点的导数（趋近于0）。

现在我们知道，科学家们通过导数和微积分解决了很多数学和物理上过去无法解决的问题。人们觉得这个工具很好用，于是就觉得这个工具是100%正确的，但是事情的发展并不是一帆风顺，总要起一点幺蛾子。一个名叫贝克莱的英国大主教就提出了一个致命的问题，也叫做贝克莱悖论。

这个问题简单来说就是，除法里，除数不能是0。在导数里，如果是0的话，就不能做分母，如果不是0的话，那怎么又说是“一个点”的导数呢？这不是自相矛盾吗？

所以这个问题就是：无穷小究竟是不是0。这个问题在当时完全没有答案，所以微积分的基础是存在理论缺陷的。虽然好用，但是是知其然，不知其所以然。因此，这件事，就是第二次数学危机。

第二次数学危机就这样一直持续了150多年。在这段漫长的时间里，很多的牛人数学家试图平复这次危机，但是都失败了，但是在失败的过程中也出了很多成果。150多年后，多位数学家，像大名鼎鼎的柯西、康托尔和阿贝尔等人对“无穷小”的概念进行了严格的定义，从而使得微积分有了坚实的基础。

自此，第二次数学危机圆满解决。归根结底，第二次危机是一场关乎无穷小量究竟是不是0的问题，它关乎微积分的存在基础。这次危机从萌芽到解决，中间经历了2000多年，这次危机，使得人类彻底进入了现代科学的殿堂。

2、第二次数学危机，第二次数学危机是什么

在数学的发展史上出现了三次数学危机，这些危机即使对数学发展的推动也是对数学发展的挑战，下面让我一起看看历史上发生的的第一次数学危机。

第一数学危机：无理数的发现

这次数学危机发生在公元前500年左右，当时有个非常出名的学派-毕达哥拉斯学派，其中的代表认为自然是毕达哥拉斯，毕达哥拉斯学派有一个信仰即“万物皆数”，世界的事物都会按一定的数字比例构成，并且他们深信一切数都是整数或整数之比。在这个信仰下他们不断推动数学的发展。

毕达哥拉斯

他们最出名的发现便是毕达哥拉斯定理（即中国的勾股定理），毕达哥拉斯证明了毕达哥拉斯定理，但在证明过程中毕达哥拉斯发现有些三角形的斜边是不能用整数之比表示的，比如

根号2，但当时毕达哥拉斯没有把这个发现对外公布，使得万物皆数的信仰没有被动摇。

但是毕达哥拉斯的弟子希帕索斯由于无意中泄漏了这个怪数的发现，竟被学派审判投入了大海。（不过存在另外一种说法称，据说, 正五边形的边与对角线之比 二分之根号5-1 是最先被发现的无理数。）

毕达哥拉斯定理

再这次两百年之后这次危机才得以缓解，约在公元前370年，柏拉图的学生攸多克萨斯建立了比例论，巧妙的避开了这一问题，使得这一问题得以缓解，但其实并没有解决。

第一次数学危机到19世纪末期的实数理论被发现才被真正的解决。但是，自第一次数学危机以后希腊人把几何看成了全部数学的基础，把数的研究隶属于形的研究，割裂了它们之间的密切关系。这样做的最大不幸是放弃了对无理数本身的研究，使算术和代数的发展受到很大的限制，基本理论十分薄溺。这种畸形发展的局面在欧洲持续了2000多年。

但是真理终究会战胜谬误，无理数最终成为了数学中重要的一环，这次危机是数学史上的一次重要事件，它冲击了一直在西方数学界占据主导地位的毕达哥拉斯学派，同时也标志着西方世界关于无理数研究的开端，也促进了逻辑的发展和几何学的体系化。在第一次数学危机之后的很长一段时间内，数学快速发展，并没有再遇到什么大的困境。

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