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1、不定积分复杂公式持续输出，一个接一个，根本停不下来

#头条创作挑战赛#

最近老黄一直在持续推导不定积分的复杂公式，这次推导的是反正弦和反余弦的幂的不定积分公式。

老黄在《老黄学高数》系列视频第254讲中推导了幂乘自然底数指数函数的不定积分公式：(1)∫x^n*e^(ax)dx=∑(i=0->n) (-1)^i*n!)/((n-i)!*a^(i+1))*x^(n-i)*e^(ax)+C, a≠0；

第259讲又由公式(1)推导出实指数幂乘自然对数的正整数幂的不定积分公式：

(2)∫x^a*(lnx)^ndx=∑(i=0->n)(-1)^i*n!)/((n-i)!*(a+1)^(i+1))*x^(a+1)*(lnx)^(n-i)+C, a≠0或-1；

而第255讲推导的幂乘余弦函数积分公式：

(3)∫x^n*cosaxdx=∑(i=0->n)n!/((n-i)!*a^(i+1))*x^(n-i)sin(ax+iπ/2)+C.

以及在第256讲推导的幂乘正弦函数积分公式：

(4)∫x^n*sinaxdx=-∑(i=0->n)n!/((n-i)!*a^(i+1))x^(n-i)*cos(ax+iπ/2)+C.

能不能用来推导下面这两个不定积分的公式呢？

(5)∫(arccosax)^ndx=? (6)∫(arcsinax)^ndx=?

先求∫arccosnaxdx, n∈N*, a≠0.

解：记t=arccosax, 则x=1/a*cost, dx=-1/a*sintdt.

原积分=-1/a*∫t^n*sintdt=1/a*∑(i=0->)n!/((n-i)!)t^(n-i)*cos(t+iπ/2)+C【运用了公式(4)】

=1/a*∑(i=0->n)n!/((n-i)!)*(arccosax)^(n-i)*cos(arccosax+iπ/2)+C.

同理∫(arcsinax)^ndx=1/a*∑(i=0->)n!/((n-i)!)*(arcsinax)^(n-i)*sin(arcsinax+iπ/2)+C.

这样就推得了公式(5)和公式(6). 下面解两道例题试试：

例1：求∫(arccosx)^3dx.

解：a=1, n=3,

原积分=∑(i=0->3)3!/((3-i)!)*(arccosax)^(3-i)*cos(arccosx+iπ/2)+C

=x(arccosx)^3-3(arccosx)^2*√(1-x^2 )-6xarccosx+6√(1-x^2 )+C.

再看例2，不用公式是绝对求不出来的。

例2：求∫(arcsin7x)^77dx.

解：a=7, n=77,

原积分=1/7*∑(i=0->77)77!/((77-i)!)(arcsin7x)^77-ixsin(arcsin7x+iπ/2)+C.【不需要展开】

最后是一道练习，和例1非常相似。

练习：求∫(arcsinx)^3dx.

反正弦或反余弦的幂的不定积分中，被积函数并不能乘以一般的幂函数，但却可以乘以x，它们的结果会是另外的两个积分公式。老黄会在下一篇作品中和大家分享。小伙伴们如果有追老黄的剧，现在应该也会自己推导了吧。

2、arcsinx等于什么

arcsinx等于什么

arcsinx=1/cosx这是错的只有secx=1/cosxarccosx=1/sinx也是错的只有cscx=1/sinx因此你的上面那些结论都是不对的，于是也没有什么arctanx对应的东西。追问：那arcsinx和sinx关系是怎么样的呢 比如已经sinx=多少，那arcsinx也能算出来么？回答：它们互为反函数，y=sinx的定义域是r，值域是[-1，1]y=arcsinx的定义域是[-1,1]，值域是[-π/2，π/2]因此，从图像上看它们之间的关系，y=arcsinx，（-1≤x≤1）的图像与y=sinx，（-π/2≤x≤π/2）的图像，两者关于直线y=x对称也就是说，假如有y=sinx，其中-1≤y≤1，-π/2≤x≤π/2那么就有x=arcsiny对于y=arccosx和y=cosx的关系也大致如此，但是对应的区间有点不一样y=arccosx的定义域是[-1，1]，但值域是[0，π]也就是说，它与y=cosx，（0≤x≤π）的图像关于直线y=x对称假如有y=cosx，其中-1≤y≤1，0≤x≤π那么就有x=arccosy理论上来说，假如已知sinx=a，确实可以算出arcsinx，但是过程很烦，并不是直接一步就转化而来的。

方法如下：已知sinx=a若a>1或a<-1，那么将sinx将等于一个超出正弦函数函数值范围的数，因此此时x不存在，也就arcsinx也就无意义了。

arcsinx等于什么？

arcsinx=π/2-arccosx（-1≦x≦1）。例如：arcsin0=0，arcsin1=90°。

sinx表示一个数字，其中的x是一个角度。

arcsinx表示一个角度，其中的x是一个数字。该角的范围在[-π/2，π/2]区间内。定义域[-1，1] ，值域[-π/2，π/2]。反三角函数是一种基本初等函数。

它是反正弦arcsin x，反余弦arccos x，反正切arctan x，反余切arccot x，反正割arcsec x，反余割arccsc x这些函数的统称，各自表示其正弦、余弦、正切、余切 ，正割，余割为x的角。扩展资料：了使单值的反三角函数所确定区间具有代表性，常遵循如下条件：1、为了保证函数与自变量之间的单值对应，确定的区间必须具有单调性；2、函数在这个区间最好是连续的（这里之所以说最好，是因为反正割和反余割函数是间断的）；3、为了使研究方便，常要求所选择的区间包含0到π/2的角；4、所确定的区间上的函数值域应与整函数的定义域相同。这样确定的反三角函数就是单值的，为了与上面多值的反三角函数相区别，在记法上常将Arc中的A改记为a，例如单值的反正弦函数记为arcsin x。

arcsinx什么意思，公式是什么？

反三角函数。y=sinx (-π/2xπ/2)的反函数(这函数说白了就是你知道sinx的值了，现在想求 什么 角度的正弦等于这个值。

)比如说：你知道y=sinx(-π/2≤x≤π/2),当x=π/3时，y=sin(π/3)=1/2.那么反正弦函数定义如下：y=arcsin(x)(-1≤x≤1)当x=1/2时，y=arcsin(1/2)=π/3.有一点需要注意，因为y=sinx （x属于实数）------(1)这个函数是个周期函数，这样的话，每给一个y值，都有无穷个x值与它对应。

比如，y=0,那么x=0,2π,4π,6π...都成立。它的反函数x=arcsin(y) -----------(2)这里故意写成这样，以便保持函数（1）（2）中的x和y是一样的。可以看到对于反函数x=arcsin(y)，我们每给一个自变量值y的值，都会有很多个函数值。这显然不符合函数的定义。

为此，我们限定了，函数（1）的自变量x的取值为(-π/2≤x≤π/2),如此一来，函数（2）的自变量在-1到1之间取值的时候，函数x的取值就只能在（(-π/2≤x≤π/2）的范围内了，也就满足一一对应了。如果还没明白，就等你上了高一，老师会仔细讲解函数的时候，再来学习这个知识吧。

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