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1、高等数学中两个重要极限以及其拓展

操作方法

第一个极限，关于自然对数e的定义。

我们使用数列极限的判断方法判断e的存在。首先，判断数列x_n=(1+1/n)^n是递增数列

然后证明x_n有上界。

第二个极限，关于圆弧的以直代曲的sin(x)、x以及tan(x)在x趋近于0的情形。

这样就有如下的不等关系。据此推出x/sinx在x趋于0的极限。

同理得出x/tanx的极限如下。

2、二十四节气的现代意义

作者：郭文斌（宁夏文联主席、作协主席）

端午又至。在我获得鲁迅文学奖的短篇小说《吉祥如意》里，就曾写过端午。总有人问我，为什么把端午写得那么美，那么香，那么多彩，那么欢乐，那么吉祥，那么如意。

我说，的确，在我的记忆中，端午是香的。

“五月和六月是被香醒来的”，当我把这句话写在稿纸上时，我就进入了另一个时空隧道，它的名字叫端午。

“五月”是姐姐，“六月”是弟弟，端午的故事，就是从姐弟二人被“香醒来”开始的。

既是“甜醅子”的香，又是“荷包”的香，又是艾草的香，又是“五月五”这个日子的香，更是“天之香”“地之香”“人之香”。

正是天地间弥漫的这种“香”，让“五月五”端午“十全十美”“吉祥如意”。

也正是这种弥漫在记忆中的“香”，让我在端午等传统佳节之外，也对二十四节气着迷，让我用十二年的时间写成长篇小说《农历》，2010年出版至今已十多次重印。这部长篇的写作，让我对中华文化的整体性有了更加深入的体会。

八年前，我协助中央电视台拍摄大型纪录片《记住乡愁》，让我对中华文化的整体性有了更为广阔的认识。这部节目原计划拍摄一百集，没想到播出后观众非常欢迎，后来被扩容为540集，现已播出450集。

在我看来，这种文化的整体性，体现在时间制度上，就是二十四节气；体现在人类生命力的保持上，就是顺应二十四节气。正所谓，“人法地，地法天，天法道，道法自然”。如果用一个字来概括，就是“中”。为此，我写了多篇散文，收在散文集《中国之中》中。

今年，我和宁夏日报合作，计划用一年时间录制二十四节气的节目，已经播出8集，反响很好。让我高兴的是，我们的策划和北京冬奥会同步，冬奥会开幕式正是以二十四节气为序曲。我跟剧组说，这次录制，我们尽可能开发一些观众“百度”不到的内容，侧重开发有助于人们应对现代性困境的功能。

在我看来，二十四节气是中华先祖对子孙后代的祝福，也是对人类的祝福。这种无比美好的祝福，含藏在穿越时空的精妙编程里。

二十四节气是天文编程

二十四节气，是我们的祖先通过观察太阳周年运动形成的时间体系，是先民们认知一年中时令、气候、物候等变化规律所形成的完整智慧体系。“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连。秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒。”这首《二十四节气歌》，我们从小就背会了。

在写作长篇小说《农历》的过程中，我越来越清晰地认识到，二十四节气是“天文”和“地文”牵手形成的“人文”。它来自中华先祖最为现实的农业需求，那就是，什么时间播种，才能得到最好的收成。特别是黄河中下游一带的人民，一年只有一次播种机会，如果没有二十四节气的导航，就很可能因为走错“时间路线”而歉收。

农民最清楚，哪怕你错过一两天的播种时间，收成都跟别人差得远，更不要说是半个月。同一人家的两块田，一块长势好，一块长势不好，问父亲为什么。他告诉我，长势不好的那一块，是因为迟种了一天。

二十四节气的神奇，体现在它的精准。

有农村成长经历的人都有感受，二十四节气就是我们的人生，因为我们就是跟着这一套时间路线长大的。“清明前后，栽瓜点豆”，这两天老爹老娘就忙着播种了。“麦在地里不要笑，收到囤里才牢靠”，那种虎口夺粮的争分夺秒，真是一种极限体验。

我们的祖先，为了准确授时，“仰则观象于天，俯则观法于地，观鸟兽之文与地之宜，近取诸身，远取诸物”，“终日乾乾，夕惕若厉”，日复一日，年复一年，不敢稍差分毫，才确立了天地人的对应关系，绘制出中华民族沿用几千年的时间地图。

中国人为什么那么熟悉二十八宿，就是用它来反观大地，指导人生的。初昏，北斗七星的斗柄东指，天下皆春；南指，天下皆夏；西指，天下皆秋；北指，天下皆冬。如此确定的时间制度，最后就变成了历法，最后确立为农历。

正是农历精神，让人们“与天地合其德，与日月合其明，与四时合其序”，从而建立了“天格”“地格”“人格”的对应关系，成为中华哲学、文学、美学的基础，也成为政治学、经济学、社会学的基础，更是医学、养生学、生命学的基础。

“仰以观于天文，俯以察于地理，是故知幽明之故”。二十四节气，正是这种“幽明”的工具化。

这种“仰观”催生了古代中国十分发达的天文学。祖先们用圭表度量日影长短，确立了“冬至”“夏至”。然后通过数学推算，将太阳运行一年分成二十四等份，确立每一个节气的时间。

有了精准的观象授时，就有了精确的播种。有了精确的播种，就有了农业的发达。有了农业的发达，就有了足够的粮食。有了足够的粮食，就有了增长的人口。有了增长的人口，就有了人文的兴盛，文明的发达。

相传由孔子删定《尚书》所剩逸篇所成之书《逸周书》中的《时训解》就详细记录了七十二候。西汉《淮南子·天文训》出现了二十四节气。

从中，我们得知，五日为一候，三候为一气。每一候都有动物、植物、鸟类、天气等随季节变化的周期性自然现象，称为“物候”。比如芒种，一候螳螂生，二候鵙始鸣，三候反舌无声。比如夏至，一候鹿角解，二候蝉始鸣，三候半夏生。同一物候因季而变，从“雷发声”到“雷始收声”，从“蛰虫始振”到“蛰虫坯户”，从“玄鸟至”到“玄鸟归”，等等。

诸子百家之一的农家的《审时》把“天人合一”在农业中的应用技术化，让二十四节气和农业充分对应。

5月21日，宁夏灵武市梧桐树乡北滩村村民在田间插秧。新华社发

小满已过，芒种将至，江苏省淮安市470余万亩小麦长势良好，即将开镰收割。图为5月26日，一列高铁列车驶过麦田。新华社发

秦汉时期的重农抑商思想，又为二十四节气提供了强大的政策支持，让它走入百姓日用。

今天，发达的气象学也没能完全代替二十四节气在农业中的重要性。播种、除草、收获、耕地、养墒，人们仍然要翻老皇历。在我心目中，老皇历除了具有实用价值，还有一种特别的诗意和浪漫。我在写《农历》时，小时候父亲在阳光下读皇历的景象，就一次次浮现在眼前。

父亲在黄土地上劳作的一生，又何尝不是一部老皇历。他年年岁岁面朝黄土背朝天辛苦劳作的身影，让我无数次地想起《周易》的核心要义：厚德载物，自强不息。

二十四节气是人文编程

把《农历》写完，我就认定，人文是天文的投影。比如，自强不息的精神正是古人从二十四小时不间断观测天象中发现并演绎的。古人在观测天象的时候看到天体的运行不息，赋予人文的意义就是乾卦的核心精神——自强不息。

既然人文是天文的投影，那么，按照天文去生活，就会趋吉避凶，吉祥如意。

为此，我们的祖先对人文进行了系统性编程，正是这种充满智慧的编程，催生了二十四节气活的哲学。变易、简易、不易，阴阳、消长、运化，全在其中。“冬至一阳生”，“夏至一阴生”，“万物负阴而抱阳，冲气以为和”。在古人看来，“气”既是生命的存在状态，又是存在方式。这种状态和方式，体现在节律上，就是“节”。其目的，就是保证“中”，保证“和”。对应在人文上，就是《中庸》讲的“喜怒哀乐之未发，谓之中；发而皆中节，谓之和。中也者，天下之大本也；和也者，天下之达道也。致中和，天地位焉，万物育焉。”

这种中和哲学，让中华民族避免了非黑即白、非白即黑的简单思维，学会在阳中找阴，阴中找阳。道家用太极图来表达，儒家用中庸之道来阐述。体现在国家治理上，就是德法并重；体现在人类学设计上，就是构建人类命运共同体。

如果二十四节气智慧能够在全人类普及，世界上的许多争端，也许就可以停止，人类就会安宁许多，祥和许多。因为二十四节气的后面是天文。

而天文对人文的最大启示，就是整体性。在散文集《中国之中》中，我用大量文字阐述了中华文化整体性对人类走出困境的现实意义，阐述了“凡是人，皆须爱”的道理。因为“天同覆，地同载”。因为人文源于天文，而天地表演给人类的，就是整体性。

既然天地是一个整体，那么，爱人就是爱己，伤人就是伤己。

历史上，我们曾想用法律手段废除农历，强行推行西历，结果没有成功。因为它不符合中国人的认知方式、思维方式、行为方式，不符合中国人的整体观。最后，就默许两套历法并行。

古人为什么把春分跟秋分神化，认为它们是天上的两尊神，春分祭日，秋分祭月。就是因为他们观测到，这两天昼夜等长。作为二十四节气的原始坐标，它奠基了中国人的思维方式，就是处处“找中”。

这种“找中”的思维方式，让中华民族秉持辩证思维，不走极端。在极阳的时候马上想到阴，在极阴的时候马上想到阳。处在优势马上想到劣势，处在劣势马上看到优势。

近来，人们常常会为一些世界性事件争论得不亦乐乎，看起来，双方都有道理，如果不用“找中”的思维观照，是很难判断孰对孰错的。在“找中”的视角里，我们会发现，地理之间的较量，其实是文化较量。

相传，尧给舜禅让帝位的时候说：“咨！尔舜！天之历数在尔躬，允执其中，四海困穷，天禄永终。”什么意思呢？就是说，我把这一套极其高明的历法传给你，你要用它来找到那个“中”，好好为人民服务。如果天下百姓陷于贫困，上天赐给你的禄位就会永远终止了。可见，中道思维来自天文。可见，真正的服务是天文服务，历法服务，真正的管理也是天文管理，历法管理，因为它是天地中介。由此，我们才能理解“天子”一词的含义。天子的权威性，来自独有的天文观测，来自独有的历法。

正是这种独有的时空系统，促进了中华民族的大一统。因为如果分裂，就意味着进入不了这套历法系统。

这种“找中”的哲学用在养生上，就是平衡。抑制旺的一方，扶持弱的一方。为此，古人讲，春不食肝，夏不食心，秋不食肺，冬不食肾。

春天养生，就要多支持脾脏。因为春天对应着肝，肝属木，木克土，脾属土。怎么保呢？多吃和脾土对应的黄色食物，比如小米、番瓜、豆芽、生姜、香椿等。从味觉上讲，酸味入肝。所以，春天要少吃酸，因为酸入肝，会让肝火旺。这时，要适当增加甜食，因为甜味入脾。

这种找“中”的哲学让中国人特别注重“天人合一”。“天人合一”让中国人学会随缘，顺其自然。为此，人要不跟节律对抗。因为整个宇宙给我们表演的就是顺，就是应。如果地球哪一天搞一个花样滑冰，折回来运转，那将是什么情形。

人是宇宙的一分子，因此，只有“顺”，才能“合”，只有“合”，才能吉祥如意。

如何来“合”？顺应节气。比如春天，《黄帝内经》讲，“春三月，此为发陈。天地俱生，万物以荣。夜卧早起，广步于庭，被发缓形，以使志生；生而勿杀，予而勿夺，赏而勿罚，此春气之应，养生之道也；逆之则伤肝，夏为寒变，奉长者少。”

“生而勿杀，予而勿夺，赏而勿罚，此春气之应，养生之道也。”这句话告诉我们，春天要少吃动物性食品，要多给予，多奖励。因为，在古人看来，宰杀动物时，人要先动杀心，而杀心引动杀机，伤害生机。人要健康，就要长养生机。

比如夏天，《黄帝内经》讲，“夏三月，此谓蕃秀，天地气交，万物华实，夜卧早起，无厌于日，使志无怒，使华英成秀，使气得泄，若所爱在外，此夏气之应，养长之道也。逆之则伤心，秋为痎疟，奉收者少，冬至重病。”因为太热，所以贪凉，而贪凉，阳气无法宣泄，湿邪就被闭在体内，秋天就会得痎疟，冬天就会重病。

热的时候充分经受热，冷的时候充分经受冷，此谓自然。“人法地，地法天，天法道，道法自然”，养生的最高境界，就是这个“自然”。而二十四节气，就是中国人的“自然”课表。

二十四节气是幸福编程

在写长篇小说《农历》的过程中，有一天，我突然意识到，大地回春，桃红柳绿，细想，都是温度在背后操盘。每一抹绿色回到人间，每一朵蓓蕾绽放，细微的变化之处，其实就是天地间的阳气增加了一点点。而这增加了的阳气，其实就是阳光的增量。而阳光的增量，来自阳光到达地球的角度增量。这个角度，又来自地球环绕太阳公转的“节律”和地球本身的“姿态”。这个“节”，这个“态”，对应在大地上，就是“气”。我们都知道，地球是“斜着身子”绕太阳公转的。正是这渐渐“直起来”的阳光让大地春意盎然、生机勃勃。

正是这一发现，让我联想到，在人间，我们能感知的爱和温暖都来自太阳，包括月辉。既然一切都来自这个“太”，这个“阳”，那么，我们就要向太阳学习，“与日月合其明”。

细细体味“合”的感觉，就会对“奉献”二字有新的认识。太阳的存在就是燃烧，就是奉献。当年，父母师长如是教诲，有些不理解，只是把它写进《农历》里。不惑之年，自己开始做志愿者，有些能够理解了。

2012年，我支持几位同道创办了全公益“寻找安详小课堂”，那种实实在在的幸福感，让我觉得，我在《农历》中写的五月六月的父亲不再是一个小说人物，而是我自己。我把我所写的，变成所做的。每天脑海里全是要帮的人和方案，没有时间焦虑和忧伤，也没有时间自私和自利。那种“忘我”的幸福，超过拿任何奖，获任何利，得任何名。

这才明白，活着的意义就是奉献。

去年，应家长的强烈要求，长江文艺出版社要出版适合青少年阅读的大字号《农历》，让我修订一下。再读十多年前写下的那些文字，读“父亲”给五月六月讲，要学习天，学习地，学习太阳，学习庄稼，泪水就禁不住流下来。

想想二十四节气，从立春，到大寒，天地要保障所有生命的生存，就得提供空气、水、食物，而这些保障生命的东西，都是天地免费为我们提供的。

我一直在琢磨“谷雨”这个词，大家都在讲，“雨生百谷”，却忽略了“谷养百姓”。这谷物，是谁创造的，为什么要牺牲自己，养活人类？

这，也许就是天造地设，就是“本性”。一下子，我就明白了《大学》为什么开篇要讲，“大学之道，在明明德，在亲民，在止于至善”。何为“明德”，何为“至善”，“亲民”而已。也明白了《论语》开篇为什么要讲，“学而时习之，不亦说乎？有朋自远方来，不亦乐乎？人不知而不愠，不亦君子乎？”学习什么，学天地精神，学日月精神。如此，才能“悦”。只有这种天地精神日月精神绽放的“悦”，才会感召远方之朋。也只有这种会通了天地精神日月精神的“悦”，才会“人不知而不愠”。试想，如果天地和日月听不到赞美就沮丧，就收回它的光明，那就不成其为日月。

突然间，又对“人法地，地法天，天法道，道法自然”有了新的体会。这个“自然”，就是“本然”，就是一种没有缘由的爱和奉献。

这种心路历程，帮助我更加深入地理解老子讲的“自然”。

渐渐地，我就懂得了什么叫“自在”。没有“自然”，很难“自在”。也让我理解了什么叫“自信”，没有“自在”，就没有“自信”。

中华民族是一个自信的民族，跟我们的自在文化有关。

但凡自在的文化，都是可以经过时间检验的，比如二十四节气。

“春有百花秋有月，夏有凉风冬有雪，若无闲事挂心头，便是人间好时节。”无门慧开的这首偈，真是把自在文化讲到家了。全然地享受过程，享受生命的每一个“现场”，正是幸福学的真谛所在。

但现在，目标性幸福代替了过程性幸福。这不是太吃亏了吗？孩子们要通过九千九百九十九个学习之“苦”换来一个录取通知书之“甜”，让“学而时习之，不亦说乎”变成“不亦苦乎”，让多少学生高考完就再也不愿意看课本一眼。这是目标性幸福无法解决的死题。

古圣先贤给我们开出的幸福学教程是活在“现场里”，要让全过程的每个“此刻”都要幸福。就学生来说，要用九千九百九十九个学习过程之“甜”换来一个更大的结果之“甜”，这才能真正实现夫子讲的“不亦说乎”。

目标性幸福，往往会把生命带离现场，而生命长期离开现场，是会出问题的。

我让孩子们把生命过程审美化、幸福化，让过程本身变成目标，全然地活在现场里，活在当下的幸福里，活在朴素生活的幸福里。播种时就要幸福，耕耘时就要幸福，而不仅仅是收获时幸福。生命的诗意就这么诞生了。不久，他们就会发现细节性的美，一朵花，一棵草，一丝阳光，一缕风。

由此，我们会发现，古人晴耕雨读生活方式的智慧，他们活在一种耕读的诗意里，活在农事诗的狂欢里。而现在，有多少人，耕也没了，读也没了，每天活在一种“概念幸福”里，活在信息狂流里，活在计划里，效率里，手机里，网络里。渐渐地，生命的“实在感”丧失，“现场感”丧失，焦虑就找上门来了，抑郁就找上门来了。

由此，国家把教育由“德智体”扩展为“德智体美劳”，是非常英明的。

二十四节气提供的是一种与现代“效率时间”相别的“自然时间”。二十四节气中的时间是活的，有生命的，有温度的，能够呼吸的。它让天、地、人、物的关系人格化，审美化，也让中华文化的整体性有了可感可亲的烟火气。

而一度，我们的“自然时间”被“效率时间”代替，风声雨声离开了我们的生活，鸟语花香离开了我们的生活，天长日久，我们就被一种巨大的“冰冷”包围，包括青少年。后果是什么，大家都清楚。

可以说，二十四节气本身就是先人的教育编程，它不但是我们的认知方式，也是思维方式，更是行为方式，当然也决定着我们的学术范式。

二十四节气是大教育。

我欣喜地看到，二十节气教育正在以不同的方式走进校园。

每逢清明、端午、中秋、重阳等节，不少学校组织学生集体诵读《农历》对应的章节，还有一些学校，编排节目上演。受邀观看孩子们天真可爱的演出，我的脑海里就会响起一个声音——

这农历，这二十四节气，不正是先祖们的天文编程、人文编程、教育编程、幸福学编程，甚至是人类学编程吗？

《光明日报》（ 2022年06月03日05版）

来源： 光明网-《光明日报》

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