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实数是什么，实数是什么意思数学（不用加减乘除如何描述实数）

02-17 互联网未知投稿

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1、不用加减乘除如何描述实数？

有很多定义实数的办法，他们之中很多都是等价的。但是，如果我想放弃所有的代数结构，只是使用序结构来定义，会怎么样呢？(就是说只考虑大小关系，不考虑加减乘除之类的运算)。首先，我需要一个全序集——这样的集合里任意两个元素都可以比较大小。

自然数就是那样的集合，而且每个自然数都有一个后继。但是，我们想让自然没有端点，于是我们加入“没有最大元素和最小元素”这样的条件。好了，这样整数就诞生了。但是，这样的集合有太多的缝隙，每两个连续的整数间都有缝隙。

我们需要填补这些缝隙，于是需要打破每个整数都有前驱或后继这样的状态。于是，我们这样要求，要求任意两个不同元素之间都有另外一个元素：这个性质叫做(序)稠密性。

看吧：有理数就是稠密的。但是，有理数仍然有很多“小洞”。为了填补这些洞我们要求“完备性”：每一个有界子集都有上确界和下确界。实数就满足这样的性质，填补那些洞的数叫做无理数。

实数是什么，实数是什么意思数学（不用加减乘除如何描述实数）

但是，我们还要现在我们得到的实数不能“太散了”，所以还需要加入条件：如果有一串开区间两两不交，那么这一串开区间至多可数。所以有个问题是这样的：以上的这些性质是不是就能刻画实数？

这就是“舒斯林假设”( Suslin Hypothesis, 简称SH)。舒斯林假设说：如果一个有序集合满足之前说的所有条件，那么他是否和实数（通常意义的实数）是同构的（这里指序同构）。

你也许已经猜到了：苏斯林假设在ZFC公理体系下不可判定。

有理数和无理数的总称

实数，是有理数和无理数的总称。数学上，实数定义为与数轴上的实数，点相对应的数。

实数，是有理数和无理数的总称。数学上，实数定义为与数轴上的实数，点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。实数和虚数共同构成复数。

实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类。实数集通常用黑正体字母 R 表示。R表示n维实数空间。实数是不可数的。实数是实数理论的核心研究对象。

所有实数的集合则可称为实数系（real number system）或实数连续统。任何一个完备的阿基米德有序域均可称为实数系。在保序同构意义下它是惟一的，常用R表示。由于R是定义了算数运算的运算系统，故有实数系这个名称。