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1、素数定理是什么：有关素数的几个定理

定理 1 素数有无限多个。

证明 令数字P = p1 · · · pk 为所有质数的乘积，并考虑数字P + 1。如果P +1是质数，则定理得证。因此，假设P +1不是素数。然后P +1可被一些较小的质数p整除。如果p属于已有的质数，则p能被P + 1和P整除。

而对于任意三个整数a, b和c，如果a能整除b且a能整除c，那么a也可以整除b﹣c。

（令b=am，c=an（其中m，n为整数），那么b-c=am-an=a(m-n)，由于m-n也是整数，所以a能整除b-c。）

则p还必须可以整除P +1-P，也就是p能整除1。由于这不可能，因此p不属于已有的质数。

定理 2 设p是一个素数，a, b是两个正整数，而且p > a, p > b. 则p卜ab。

证明根据整除的定义，如果一个整数 a 能够被 p 整除，那么必然存在一个整数 m，使得 a=pm。因此，我们可以将 ab 表示为 a×b。则：

• 如果 p 不整除 a，也不整除 b，那么 p 一定不整除 ab，因为不存在整数 m 使 ab=pm。

这一点很简单。因为a不能表示为pm，b也不能表示为pn，所以ab就不能表示为pk的形式。

• 如果 p 不整除 a，但整除 b，那么 b=pk，其中 k 是一个整数。因此，ab=apk，即 ab 可以被表示成 p 乘以一个整数 ak。因为 p 是一个素数，所以可以证明 p 一定整除 ab。
• 如果 p 不整除 b，但整除 a，那么 a=pl，其中 l 是一个整数。同样，ab 可以被表示成 p 乘以一个整数 bl，即 ab=plb。因为 p 是一个素数，所以可以证明 p 一定整除 ab。
• 如果 p 同时整除 a,b，那么 ab 可以表示成 ab=p2×k，其中 k 是一个整数。因此，ab 可以被表示成 p 乘以整数 pk。因为 p 是一个素数，所以可以证明 p 一定整除 ab。
• 综上所述，当 p 是一个素数，a,b 是整数，并且 p 不整除 a,b 时，p 一定不整除 ab。

比如，假设p=7,a=4,b=5,则p不能被ab整除，即7不能被20整除，7卜20。

定理 3 设p是一个素数，a, b是两个正整数。如果p|ab, 则p|a或者p|b.

证明 假设p 卜 a，而且p 卜 b. 那么取a, b模p的最小的正剩余c, d, 我们知道c, d都 是小于p的正整数。而且这时有p|cd。这就与上一个定理矛盾。

定理 4 设p是一个素数。如果p|a1 · · · an, 则存在i使得p|ai.

证明 归纳即可。由p|(a1 · · · an−1)an 可知p|(a1 · · · an−1)或者p|an。

依次类推。

2、素数定理是什么，素数定理的定义

素数定理（prime number theorem）是素数分布理论的中心定理，我来为大家科普一下关于素数定理是什么?以下内容希望对你有帮助!

素数定理是什么

素数定理（prime number theorem）是素数分布理论的中心定理。

关于素数个数问题的一个命题：设x≥1，以π(x)表示不超过x的素数的个数，当x→∞时，π(x)～Li(x)或π(x)～x/ln(x)。（Li(x)为对数积分）。

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