专接本高数题,专接本高等数学知识点汇总
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常用知识点:
一、常见函数的定义域总结如下:
y,kx,b(1)一般形式的定义域:x?R 2y,ax,bx,c
k(2) 分式形式的定义域:x?0 y,x
(3) 根式的形式定义域:x?0 y,x
(4) 对数形式的定义域:x,0 y,logxa
二、函数的性质
1、函数的单调性
f(x)当时,恒有,在所在的区间上是增加的。 x,xf(x),f(x)x,x121212
f(x)当时,恒有,在所在的区间上是减少的。 x,xf(x),f(x)x,x1212122、 函数的奇偶性
y,f(x)Dx,D,x,D定义:设函数的定义区间关于坐标原点对称(即若,则有)
f(x)f(,x),f(x),x,D(1) 偶函数——,恒有。
f(x)f(,x),,f(x),x,D(2) 奇函数——,恒有。 三、基本初等函数
(,,,,,)y,c1、常数函数:,定义域是,图形是一条平行于轴的直线。 x
uy,x2、幂函数:, (是常数)。它的定义域随着的不同而不同。图形过原点。 uu3、指数函数
x定义: , (是常数且a,0,a,1).图形过(0,1)点。 y,f(x),aa
4、对数函数
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定义: , (是常数且,)。图形过(1,0)点。 a,0a,1y,f(x),logxaa
5、三角函数
y,sinx(1) 正弦函数:
D(f),(,,,,,)f(D),[,1,1], , 。 T,2,
(2) 余弦函数: . y,cosx
D(f),(,,,,,)f(D),[,1,1], , 。 T,2,
(3) 正切函数: . y,tanx
,f(D),(,,,,,), , . T,,D(f),{x|x,R,x,(2k,1),k,Z}2(4) 余切函数: . y,cotx
D(f),{x|x,R,x,k,,k,Z}f(D),(,,,,,), , . T,,
5、反三角函数
,,y,arcsinxD(f),[,1,1](1) 反正弦函数: ,,。 f(D),[,,]22
D(f),[,1,1]f(D),[0,,](2) 反余弦函数: ,,。 y,arccosx
,,D(f),(,,,,,)(3) 反正切函数: y,arctanx,,。 f(D),(,,)22
D(f),(,,,,,)f(D),(0,,)y,arccotx(4) 反余切函数: ,,。
极限
一、求极限的方法
1、代入法
代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限,等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候,可以直
接代入进行极限的求解。
2、传统求极限的方法
(1)利用极限的四则运算法则求极限。 (2)利用等价无穷小量代换求极限。 (3)利用两个重要极限求极限。
(4)利用罗比达法则就极限。
二、函数极限的四则运算法则 limu,Alimv,B设, ,则 x,,x,,
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(1) lim(u,v),limu,limv,A,Bx,,x,,x,,
(2). lim(u,v),limu,limv,ABx,,x,,x,,
推论
(a), (为常数)。 lim(C,v),C,limvCx,,x,,
nn(b) limu,(limu),,,,xx
limuuA,x,(3)lim, (). B,0,,,x,vlimvBx,,
nn,1P(x)(4)设为多项式, 则 P(x),ax,ax,?,alimP(x),P(x)n001x,x0
P(x)P(x)0P(x),Q(x)Q(x),0(5)设均为多项式, 且, 则 lim,x,x0Q(x)Q(x)0三、等价无穷小
ln(1,x)~x常用的等价无穷小量代换有:当时,,,,,,x,0sinx~xarcsinx~xtanx~xarctanx~x
1x2e,1~x1,cosx~x,。 2
对这些等价无穷小量的代换,应该更深一层地理解为:当? ,0时,sin? ~? ,其余类似。
四、两个重要极限
sinxlim,1重要极限I 。 x,0x
sin? lim,1它可以用下面更直观的结构式表示: ? ,0?
x1,,lim1,,e重要极限II 。 ,,x,,x,,
? 1,,,,elim1其结构可以表示为: ,,? ,,? ,,
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八、洛必达(L’Hospital)法则
'()()fxfx0,,“”型和“”型不定式,存在有(或)。 limlim,,A'x,ax,a0,()gx()gx一元函数微分学
一、导数的定义
y,f(x),设函数在点的某一邻域内有定义,当自变量在处取得增量(点仍在该邻域内)时,相xxx,,xxx000
,y应地函数取得增量。如果当时,函数的增量与自变量的增量之比的极限 y,x,0,x,y,f(x,,x),f(x)00
f(x,,x),f(x),y00,limlim== 注意两个符号和在题目中可能换成其他的符号表示。 ,xf(x)x00,x,0,x,0,x,x
二、求导公式
1、基本初等函数的导数公式
,(C),0(1)C (为常数)
,,,1,(2)(为任意常数) (x),,x,
xxxx,,(a,0,a,1)(3) 特殊情况 (a),alna(e),e
111,,(x,0,a,0,a,1)(logx),loge,(lnx),(4), aaxxlnax
,(sinx),cosx(5)
,(cosx),,sinx(6)
1'(tanx),(7) 2cosx
1'(cotx),,(8) 2sinx
1'(,1,x,1)(arcsinx),(9) 21,x
1'(arccosx),,(,1,x,1)(10) 21,x
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1'(11)(arctanx), 21,x
1'(12)(arccotx),, 21,x
2、导数的四则运算公式
,,,[u(x),v(x)],u(x),v(x)(1)
,,,[u(x)v(x)],u(x)v(x),u(x)v(x)(2)
,,[ku],ku(3)(为常数) k
,,,,,u(x)u(x)v(x),u(x)v(x)(4) ,,,2v(x)v(x),,
y,f(u)u,,(x)f(u),(x)y,f[,(x)]3、复合函数求导公式:设, ,且及都可导,则复合函数的导数为
dydydu',。 f(u).(x),,,,dxdudx
三、导数的应用
1、函数的单调性
'f(x)(a,b)则在内严格单调增加。 f(x),0
'f(x)(a,b)则在内严格单调减少。 f(x),0
2、函数的极值
'f(x)的点——函数的驻点。设为 xf(x),00
''f(x)(1)若时,;时,,则为的极大值点。 x,xx,xf(x),0f(x),0f(x)000
''f(x)(2)若时,;时,,则为的极小值点。 x,xx,xf(x),0f(x),0f(x)000
'(3)如果在的两侧的符号相同,那么不是极值点。 xf(x)f(x)003、曲线的凹凸性
''(a,b)y,f(x),则曲线在内是凹的。 f(x),0
''(a,b)y,f(x),则曲线在内是凸的。 f(x),0
4、曲线的拐点
''''y,f(x)f(x),0(1)当在x的左、右两侧异号时,点(x,f(x))为曲线的拐点,此时. f(x)0000
''y,f(x)(2)当在x的左、右两侧同号时,点(x,f(x))不为曲线的拐点。 f(x)0005、函数的最大值与最小值
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