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1、三角形四心及其性质总结：三角形四心的性质及其向量形式

所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。

(1)外心：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。

(2)内心：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。

(3)垂心：三角形三条高的交点叫重心。

(4)重心：三角形三条中线的交点叫重心。

2、三角形四心及其性质总结，三角形五心之一

想重温这道求角度的几何题，可以点这里：数学趣题：不用三角函数求出∠BAC的度数

下面我们进入正题：

三角形旁切圆的圆心，简称为三角形旁心，它是三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点；显然，任何三角形都存在三个旁切圆、三个旁心。

如下图所示，已知三角形ABC，角C的外角平分线CD于角B的外角平分线BD交于D，则D为三角形ABC的一个旁切圆，D是一个旁心。

三角形旁心及旁切圆性质

旁心有以下性质：

性质1 ：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。

证：如上图，已知角C的外角平分线CD于角B的外角平分线BD交于D，我们来证明AD一定平分角A。

取旁切圆圆D与直线AC和AB的切点，分别为E和F。连接ED、FD，可知角DEA和角DFA均为直角。

ED和DF都是半径，即ED=DF。

三角形ADE与三角形ADF有公共边AD，可得三角形ADE与三角形ADF全等

即可得到角DAF=角DAE，因此，直线AD平分角A。证毕

性质2：旁心到三角形三边的距离相等。

根据角平分线性质，易证此性质

性质3：三角形有三个旁切圆，三个旁心。旁心一定在三角形外。

根据三角形特性，两条三角形外角平分线的交点，一定交于三角形外，易证此性质

性质4：直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半。

证：如上图，三角形ABC中角A为90度，取BC与圆D的切点为G。

易知三角形DEC与三角形DGC全等，所以EC=CG。同理可知BG=BF。

三角形ABC的周长L=AB AC CB=(AB BG) (AC CG)=(AB BF) (AC EC)=AE AF

四边形AFDE为正方形，AE及AF都等于圆D的半径，得证。

三角形3个旁心组成的三角形为旁心三角形，如下图所示的三角形HDI。这个旁心三角形也有多个美妙的性质。例如：

1）H、C、D三点共线等

2）旁心三角形HDI的垂心是原三角形ABC的内心

此外，其中HB、AD、CI三条线的交点O是三角形ABC的内心，图中红色的圆就是内接圆，与三个旁切圆都相切。

紫色的圆是旁心三角形HDI的外接圆，也称为“贝文圆”。

具体的性质，有兴趣的读者可以自行证明

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