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1、「Python」零起步数学+神经网络入门

摘要：手把手教你用(Python)零起步数学+神经网络入门！

在这篇文章中，我们将在Python中从头开始了解用于构建具有各种层神经网络（完全连接，卷积等）的小型库中的机器学习和代码。最终，我们将能够写出如下内容：

假设你对神经网络已经有一定的了解，这篇文章的目的不是解释为什么构建这些模型，而是要说明如何正确实现。

逐层

我们这里需要牢记整个框架：

1. 将数据输入神经网络

2. 在得出输出之前，数据从一层流向下一层

3. 一旦得到输出，就可以计算出一个标量误差。

4. 最后，可以通过相对于参数本身减去误差的导数来调整给定参数（权重或偏差）。

5. 遍历整个过程。

最重要的一步是第四步。 我们希望能够拥有任意数量的层，以及任何类型的层。 但是如果修改/添加/删除网络中的一个层，网络的输出将会改变，误差也将改变，误差相对于参数的导数也将改变。无论网络架构如何、激活函数如何、损失如何，都必须要能够计算导数。

为了实现这一点，我们必须分别实现每一层。

每个层应该实现什么

我们可能构建的每一层（完全连接，卷积，最大化，丢失等）至少有两个共同点：输入和输出数据。

现在重要的一部分

假设给出一个层相对于其输出（∂E/∂Y）误差的导数，那么它必须能够提供相对于其输入（∂E/∂X）误差的导数。

记住，Eæ˜¯æ ‡é‡ï¼ˆä¸€ä¸ªæ•°å­—ï¼‰ï¼ŒX和Y是矩阵。

我们可以使用链规则轻松计算∂E/∂X的元素：

为什么是∂E/∂X？

对于每一层，我们需要相对于其输入的误差导数，因为它将是相对于前一层输出的误差导数。这非常重要，这是理解反向传播的关键！在这之后，我们将能够立即从头开始编写深度卷积神经网络！

花样图解

基本上，对于前向传播，我们将输入数据提供给第一层，然后每层的输出成为下一层的输入，直到到达网络的末端。

对于反向传播，我们只是简单使用链规则来获得需要的导数。这就是为什么每一层必须提供其输出相对于其输入的导数。

这可能看起来很抽象，但是当我们将其应用于特定类型的层时，它将变得非常清楚。现在是编写第一个python类的好时机。

抽象基类：Layer

所有其它层将继承的抽象类Layer会处理简单属性，这些属性是输入，输出以及前向和反向方法。

from abc import abstractmethod# Base classclass Layer: def __init__(self): self.input = None; self.output = None; self.input_shape = None; self.output_shape = None; # computes the output Y of a layer for a given input X @abstractmethod def forward_propagation(self, input): raise NotImplementedError # computes dE/dX for a given dE/dY (and update parameters if any) @abstractmethod def backward_propagation(self, output_error, learning_rate): raise NotImplementedError

正如你所看到的，在back_propagation函数中，有一个我没有提到的参数，它是learning_rate。 此参数应该类似于更新策略或者在Keras中调用它的优化器，为了简单起见，我们只是通过学习率并使用梯度下降更新我们的参数。

全连接层

现在先定义并实现第一种类型的网络层：全连接层或FC层。FC层是最基本的网络层，因为每个输入神经元都连接到每个输出神经元。

前向传播

每个输出神经元的值由下式计算：

使用矩阵，可以使用点积来计算每一个输出神经元的值：

当完成前向传播之后，现在开始做反向传播。

反向传播

正如我们所说，假设我们有一个矩阵，其中包含与该层输出相关的误差导数（∂E/∂Y）。 我们需要 ：

1.关于参数的误差导数（∂E/∂W，∂E/∂B）

2.关于输入的误差导数（∂E/∂X）

首先计算∂E/∂W，该矩阵应与W本身的大小相同：对于ixj，其中i是输入神经元的数量，j是输出神经元的数量。每个权重都需要一个梯度：

使用前面提到的链规则，可以写出：

那么：

这就是更新权重的第一个公式！现在开始计算∂E/∂B：

同样，∂E/∂B需要与B本身具有相同的大小，每个偏差一个梯度。 我们可以再次使用链规则：

得出结论：

现在已经得到∂E/∂W和∂E/∂B，我们留下∂E/∂X这是非常重要的，因为它将“作用”为之前层的∂E/∂Y。

再次使用链规则：

最后，我们可以写出整个矩阵：

我们已经得到FC层所需的三个公式！

编码全连接层

现在我们可以用Python编写实现：

from layer import Layerimport numpy as np# inherit from base class Layerclass FCLayer(Layer): # input_shape = (1,i) i the number of input neurons # output_shape = (1,j) j the number of output neurons def __init__(self, input_shape, output_shape): self.input_shape = input_shape; self.output_shape = output_shape; self.weights = np.random.rand(input_shape[1], output_shape[1]) - 0.5; self.bias = np.random.rand(1, output_shape[1]) - 0.5; # returns output for a given input def forward_propagation(self, input): self.input = input; self.output = np.dot(self.input, self.weights) + self.bias; return self.output; # computes dE/dW, dE/dB for a given output_error=dE/dY. Returns input_error=dE/dX. def backward_propagation(self, output_error, learning_rate): input_error = np.dot(output_error, self.weights.T); dWeights = np.dot(self.input.T, output_error); # dBias = output_error # update parameters self.weights -= learning_rate * dWeights; self.bias -= learning_rate * output_error; return input_error;

激活层

到目前为止所做的计算都完全是线性的。用这种模型学习是没有希望的，需要通过将非线性函数应用于某些层的输出来为模型添加非线性。

现在我们需要为这种新类型的层（激活层）重做整个过程！

不用担心，因为此时没有可学习的参数，过程会快点，只需要计算∂E/∂X。

我们将f和f'分别称为激活函数及其导数。

前向传播

正如将看到的，它非常简单。对于给定的输入X，输出是关于每个X元素的激活函数，这意味着输入和输出具有相同的大小。

反向传播

给出∂E/∂Y，需要计算∂E/∂X

注意，这里我们使用两个矩阵之间的每个元素乘法（而在上面的公式中，它是一个点积）

编码实现激活层

激活层的代码非常简单：

from layer import Layer# inherit from base class Layerclass ActivationLayer(Layer): # input_shape = (1,i) i the number of input neurons def __init__(self, input_shape, activation, activation_prime): self.input_shape = input_shape; self.output_shape = input_shape; self.activation = activation; self.activation_prime = activation_prime; # returns the activated input def forward_propagation(self, input): self.input = input; self.output = self.activation(self.input); return self.output; # Returns input_error=dE/dX for a given output_error=dE/dY. # learning_rate is not used because there is no "learnable" parameters. def backward_propagation(self, output_error, learning_rate): return self.activation_prime(self.input) * output_error;

可以在单独的文件中编写一些激活函数以及它们的导数，稍后将使用它们构建ActivationLayer：

import numpy as np# activation function and its derivativedef tanh(x): return np.tanh(x);def tanh_prime(x): return 1-np.tanh(x)**2;

损失函数

到目前为止，对于给定的层，我们假设给出了∂E/∂Y（由下一层给出）。但是最后一层怎么得到∂E/∂Y？我们通过简单地手动给出最后一层的∂E/∂Y，它取决于我们如何定义误差。

网络的误差由自己定义，该误差衡量网络对给定输入数据的好坏程度。有许多方法可以定义误差，其中一种最常见的叫做MSE - Mean Squared Error：

其中y *和y分别表示期望的输出和实际输出。你可以将损失视为最后一层，它将所有输出神经元吸收并将它们压成一个神经元。与其他每一层一样，需要定义∂E/∂Y。除了现在，我们终于得到E！

以下是两个python函数，可以将它们放在一个单独的文件中，将在构建网络时使用。

import numpy as np# loss function and its derivativedef mse(y_true, y_pred): return np.mean(np.power(y_true-y_pred, 2));def mse_prime(y_true, y_pred): return 2*(y_pred-y_true)/y_true.size;

网络类

到现在几乎完成了！我们将构建一个Network类来创建神经网络，非常容易，类似于第一张图片！

我注释了代码的每一部分，如果你掌握了前面的步骤，那么理解它应该不会太复杂。

from layer import Layerclass Network: def __init__(self): self.layers = []; self.loss = None; self.loss_prime = None; # add layer to network def add(self, layer): self.layers.append(layer); # set loss to use def use(self, loss, loss_prime): self.loss = loss; self.loss_prime = loss_prime; # predict output for given input def predict(self, input): # sample dimension first samples = len(input); result = []; # run network over all samples for i in range(samples): # forward propagation output = input[i]; for layer in self.layers: # output of layer l is input of layer l+1 output = layer.forward_propagation(output); result.append(output); return result; # train the network def fit(self, x_train, y_train, epochs, learning_rate): # sample dimension first samples = len(x_train); # training loop for i in range(epochs): err = 0; for j in range(samples): # forward propagation output = x_train[j]; for layer in self.layers: output = layer.forward_propagation(output); # compute loss (for display purpose only) err += self.loss(y_train[j], output); # backward propagation error = self.loss_prime(y_train[j], output); # loop from end of network to beginning for layer in reversed(self.layers): # backpropagate dE error = layer.backward_propagation(error, learning_rate); # calculate average error on all samples err /= samples; print('epoch %d/%d error=%f' % (i+1,epochs,err));

构建一个神经网络

最后！我们可以使用我们的类来创建一个包含任意数量层的神经网络！为了简单起见，我将向你展示如何构建......一个XOR。

from network import Networkfrom fc_layer import FCLayerfrom activation_layer import ActivationLayerfrom losses import *from activations import *import numpy as np# training datax_train = np.array([[[0,0]], [[0,1]], [[1,0]], [[1,1]]]);y_train = np.array([[[0]], [[1]], [[1]], [[0]]]);# networknet = Network();net.add(FCLayer((1,2), (1,3)));net.add(ActivationLayer((1,3), tanh, tanh_prime));net.add(FCLayer((1,3), (1,1)));net.add(ActivationLayer((1,1), tanh, tanh_prime));# trainnet.use(mse, mse_prime);net.fit(x_train, y_train, epochs=1000, learning_rate=0.1);# testout = net.predict(x_train);print(out);

同样，我认为不需要强调很多事情，只需要仔细训练数据，应该能够先获得样本维度。例如，对于xor问题，样式应为（4,1,2）。

结果

$ python xor.py epoch 1/1000 error=0.322980epoch 2/1000 error=0.311174epoch 3/1000 error=0.307195...epoch 998/1000 error=0.000243epoch 999/1000 error=0.000242epoch 1000/1000 error=0.000242[array([[ 0.00077435]]), array([[ 0.97760742]]), array([[ 0.97847793]]), array([[-0.00131305]])]

卷积层

这篇文章开始很长，所以我不会描述实现卷积层的所有步骤。但是，这是我做的一个实现：

from layer import Layerfrom scipy import signalimport numpy as np# inherit from base class Layer# This convolutional layer is always with stride 1class ConvLayer(Layer): # input_shape = (i,j,d) # kernel_shape = (m,n) # layer_depth = output depth def __init__(self, input_shape, kernel_shape, layer_depth): self.input_shape = input_shape; self.input_depth = input_shape[2]; self.kernel_shape = kernel_shape; self.layer_depth = layer_depth; self.output_shape = (input_shape[0]-kernel_shape[0]+1, input_shape[1]-kernel_shape[1]+1, layer_depth); self.weights = np.random.rand(kernel_shape[0], kernel_shape[1], self.input_depth, layer_depth) - 0.5; self.bias = np.random.rand(layer_depth) - 0.5; # returns output for a given input def forward_propagation(self, input): self.input = input; self.output = np.zeros(self.output_shape); for k in range(self.layer_depth): for d in range(self.input_depth): self.output[:,:,k] += signal.correlate2d(self.input[:,:,d], self.weights[:,:,d,k], 'valid') + self.bias[k]; return self.output; # computes dE/dW, dE/dB for a given output_error=dE/dY. Returns input_error=dE/dX. def backward_propagation(self, output_error, learning_rate): in_error = np.zeros(self.input_shape); dWeights = np.zeros((self.kernel_shape[0], self.kernel_shape[1], self.input_depth, self.layer_depth)); dBias = np.zeros(self.layer_depth); for k in range(self.layer_depth): for d in range(self.input_depth): in_error[:,:,d] += signal.convolve2d(output_error[:,:,k], self.weights[:,:,d,k], 'full'); dWeights[:,:,d,k] = signal.correlate2d(self.input[:,:,d], output_error[:,:,k], 'valid'); dBias[k] = self.layer_depth * np.sum(output_error[:,:,k]); self.weights -= learning_rate*dWeights; self.bias -= learning_rate*dBias; return in_error;

它背后的数学实际上并不复杂！这是一篇很好的文章，你可以找到∂E/∂W，∂E/∂B和∂E/∂X的解释和计算。

如果你想验证你的理解是否正确，请尝试自己实现一些网络层，如MaxPooling，Flatten或Dropout

GitHub库

你可以在GitHub库中找到用于该文章的完整代码。

本文由阿里云云栖社区组织翻译。

文章原标题《math-neural-network-from-scratch-in-python》

作者：Omar Aflak 译者：虎说八道，审校：袁虎。

2、空气悬挂摩托车有哪些

空气悬挂摩托车有哪些？

关于大家想要了解的“空气悬挂摩托车有哪些？”相关内容介绍有下面：

摩托现在还没有空气悬挂，都是车主自行改装的。摩托车空气悬挂与汽车空气悬挂类似，都是可调节高度的悬挂系统。空气悬挂的种类有很多，既有只可调软硬无法调高低的，也有高低软硬都可调整的。空气悬挂的主体构造和螺旋弹簧、减震筒形式一样，只不过在螺旋弹簧上部设有一个密闭的气室，通过改变气室体积，可以改变弹簧的长短来调整车身离地距离并一定程度改变软硬特性，另外减震器部分则由电机改变通气孔大小，从而调节减震器的衰减力。

空气悬挂的车有哪些

目前常见配有空气悬挂的车型， 奥迪A8 全系标配空气悬架和可变悬架， 特斯拉 Mode lS 全系配有空气悬挂颇具极客风范的豪华电动跑车， 奔驰 ML的车型除了入门级3.0T车型上是没有配备底盘升降功能外，其它车型是配备了空气悬架。

作为高端豪车的才配有空气悬挂主要表现在加高底盘能适当的提高车辆的通过性，反之降低底盘则更有效的降低了车辆的风阻系数，悬架形成的缩短也会带来更好的侧向支持力。

提升车辆的的公路性能，提升了高端豪车的整体乘坐舒适感。细数众多高端豪车的种配有空气悬挂价格最低的就可能只有 大众 辉昂 （ 查成交价 | 车型详解 ）了，目前售价区间34.0-63.9万左右，其中大众辉昂可以说新款 奥迪A6L 的换壳车，毕竟辉昂的发动机和底盘跟 A6L 是相同的。

值得注意的是带有空气悬架的辉昂也能够实现悬架软硬和高低的调节，但并没有全系标配空气悬架，只有在四驱 旗舰 版、四驱豪华版、四驱豪华旗舰版才有空气悬架。（图/文/摄： 陈杰2） 蔚来EC6 小鹏汽车P7 MARVEL R 岚图FREE 奥迪A4L Model Y

哈雷摩托车有几大类车型？

哈雷摩托车主要有三大车型，分别是：

一、Softail车系

有Softail，路上将不再感觉是独身前行。阳光跟随车身，清风迎面吹来，只要敞开胸怀，世界就在你坚定的信念中前行。同时，也没有谁能带来与钢性固定的TwinCam88B发动机一样的感觉。它的平衡性为您带来良好的抗振性能，让您与爱车融为一体。

在骑行过程中，您将尽情感受隐藏在车身后部悬挂减震系统以及102mm的减震行程带来的稳定感。Softail一族中的订制款中还迎来了新的成员，HeritageSoftail具有简洁的线条。此外，还有更多让您兴奋的新短尾车型，在新款更宽的挡泥板下，您看到的是更强劲的200mm宽轮胎。这款加入更多橡胶的轮胎，确保车与地面牢不可分。

1、FatBoy

FatBoy有太多绝妙之处需要你慢慢品味。前端的FL风格前叉、巨大的镀铬合金单前大灯、任何脚码都有足够空间脚踏板、动力强劲能提供良好平衡的1450cc平衡式TwinCam发动机、可供选择的化油器和电喷发动机。

2、HeritageSoftail

人人都喜欢外形简洁的摩托车，HeritageSoftail正是这种风格的代言者。对于它，你只能用心和灵魂去体会。细细的察看银色粉漆的TwinCam88B发动机，它通过钢性支架固定，保持了良好的平衡性。硬尾风格是FLSTIHeritageSoftail的另一道视觉盛宴。

3、HeritageSoftailClassic

跨上HeritageSoftailClassic的那一刻，您就已经得到了通往幸福大道的车票。精美的镶钉皮包、结实的轮胎、可选配镀铬合金压花轮辁、镀铬合金挡泥板，这些让车身更漂亮的东西绝对能赢得你的欢心。

4、SoftailStandard

往往越简单的旅行反而越有趣，SoftailStandard给您的感觉正是如此。无论是由原厂摩托零配件装饰后的，还是您在这里看到的，都是一样出色。因为它们都拥有简洁、经典的线条，带防护栏的前叉，马蹄型燃油箱和完美无缺的加宽短尾挡泥板。

二、Touring车系

任何有过驾驶哈雷戴维森摩托车经验的人都会告诉您，Touring的装备总能使旅途变的舒服一些。哈雷戴维森订制款的漆色还可以用于所选的Touring摩托车，这可是历史上的第一次眩目的颜色组合，绝对是一种视觉享受。

在所有配有收音机设备的型号中，还有一套全新的高级音响系统等待着您。这套高级音响系统由Harman/Kardon专为哈雷的规格设计。新的扬声器、AM/FM/WB/CD/MP3播放机以及80W功率，这在摩托车上都是闻所未闻的音响，甚至比汽车音响的功能还要强大！

通过增加原厂的摩托配件及组件，您可以增加XM卫星频道、一套160W的放大器，甚至还有一个CB收音机！上述这些都可以整合在音响中。

1、RoadKing

跨上RoadKing的那一刻，您就明白，远方的地平线，再也不会遥远。最令您心动的是路王粗犷的线条——FL宽大的前叉，加长的档泥板，大号镀铬合金前大灯罩和发动机罩。这款车的每一个细节，都是为了您高贵的旅行生活设置。如：空气悬挂减震系统、精制的底盘、可拆卸的挡风玻璃、适合任何气候可加锁的后挂包、双人车座等。

2、UltraClassicElectraGlide

本款超级经典ElectraGlide，专为那些正在期待着它的人们而来。在车身的下部，有EFI(电喷)TwinCam88的核心部分，包含了您期望的哈雷街车所需要的一切：大动力、精工制作、传奇。它提供了更好的人体舒适度，为乘客提供舒适靠背的缝制车座。

三、VRSC车系

这一族车型的共有气质，就是顺畅快速，对直道加速总是跃跃欲试。

原因显而易见：配有水冷燃料喷注60°V-TwinRevlution发动机，双顶置凸轮轴，每缸4气门，安装在大容量的空气缸内的双主动进气速度叠加装置。坚固的液压成型框架将所有的动力发挥的淋漓尽致。刹车系统与行驶系统同样出色，所有的VRSC摩托车都配备了高性能的四盘式Brembo刹车。

但是，所有这些还不包括2006系列新款的全部内容。在2005年晚些时候，还会有一款原厂发动机部件（包括240mm宽后轮胎套装）可供选择。炽热的沥青路面，从来不曾有过如此之多的乐趣。

V-Rod

VRSCAV-Rod款的原型出场的时候，令太多人惊愕的合不上嘴。看一看铝的框架、后扫式的排气装置，与高性能的Brembo刹车相配的机加工铝合金开槽盘轮辁。

再仔细欣赏一下具有赛车风格的49mm38°带防护前叉，180mm后轮辁，银色叶状装饰的液压成型框架尽管有各种不同的耀眼漆色可选择，人们能够看到的却只有闪亮车身。因为有了液冷、燃料喷注的60°V-TwinRevolution发动机，它可以恒定的提供115马力的动力和扭矩，令你在街上飞啸而过。您所要做的全部事情，就是将您的脚踏在车前的脚登上，享受巡航模式的自由自在。

1903年，威廉·哈雷(William Harley)和戴维森(Davidson)三兄弟在密尔沃基制造了第一辆哈雷摩托车并创建了著名的Harley-Davidson MotorCompany--哈雷戴维森摩托车公司。

哈雷戴维森摩托车包括:Touring(旅行车系)、Softail®(软尾车系)、Dyna®(戴纳车系)和Sportster®(运动者车系)。这些摩托车均由哈雷戴维森摩托车公司以哈雷戴维森品牌销售。拥有截然不同、特色迥异的车系，每一个车系都蕴含着丰富的历史和传统。

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