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1、分形几何学含义：想尝尝“宇宙运行的规律”？那你高低得啃一口这个蔬菜

前段时间上映的国产电影《宇宙探索编辑部》，受到了很多观众的好评。电影中，多次出现了螺旋的形状，比如唐志军看到视频录像中两道光是螺旋状的；孙一通把看到的景象用泡泡糖捏成了双螺旋；唐志军在洞穴里也看到了壁画上的螺旋形状；直到影片最后的特效，也做成了螺旋。

电影《宇宙探索编辑部》海报

影片的观点认为，螺旋是“宇宙万物运行的规律”，从宇宙中的星系到多种植物的中心，再到生命体的遗传物质 DNA，都是螺旋的结构。

回到现实中，不少东西也是按照“螺旋”的法则生长和运作的。

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植物中的螺旋

1. 罗马花椰菜

罗马花椰菜是由花椰菜和西兰花杂交培育出的品种，它是分形学的代表。

它的花球表面由许多螺旋形的小花组成，整个罗马花椰菜有将近 300 朵这样的小花，每朵小花都是小型圆锥体，也是呈螺旋状紧密排列的。

罗马花椰菜，图库版权图片，不授权转载

小花以花球中心为对称轴螺旋排列，这种图案是斐波纳契数列（又称黄金分隔数列）的天然代表。

斐波纳契数列的前两项均为“1”，并且从第三项开始，每一项都等于前两项之和，例如：1、1、2、3、5、8、13、21、34……

当项数足够大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割比例——0.618，人们在许多图案设计上，都会考虑应用斐波纳契数列。

2. 松塔

你可能经常在公园里见到掉在地上的松塔，它是一种木质的、有鳞的“果子”。

仔细观察，你一定会注意到它们的鳞片螺旋，鳞片可以在潮湿或寒冷时紧闭，保护它们的种子。然后在温度、湿度合适的时候打开，再让风帮助种子传播。

松果底部螺纹，图片来源：Wikipedia

松果的底部螺旋图案，从两个方向细数这些螺纹构成的数字都是斐波那契数字。

如上图的松塔，逆时针旋转的线条数是 8，而顺时针旋转的线条数是 13；

除了 8 和 13，旋转的线条数还有可能是 5 或 21，这些都是斐波那契数列中存在的数字；

而像 7、9、10、11、12 等不在斐波那契数列中的数字，则不会出现。是不是很神奇？

3. 多肉植物

在植物学中，分形被称为“螺旋叶序”，即植物上的叶子呈螺旋排列。

许多多肉植物的叶子就是这样紧密地按照螺旋结构卷曲生长，形成具有黄金分割比例的自相似螺旋——黄金螺旋。

这种排列方式有助于将雨水输送到植物的核心，而且可以防止顶部叶子遮住底部叶子。

芦荟的螺旋叶序，图库版权图片，不授权转载

当然也有一些不同的观点。

曾有一位数学家提出假设，他认为所有植物，以及我们指纹的螺旋图案的出现都是为了缓解生长所受的应力作用。例如，在植物中，随着细胞在不同方向上的分裂生长，它们可能会因为受到相邻细胞或组织的约束而经历机械应力，这种应力会导致组织弯曲和折叠。

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什么是“分形”

上面提到了那么多次“分形”，分形就是螺旋生长吗？

分形是几何学中的一个概念，指的是简单的相似图案在不同维度上不断重复，构成复杂的图形或形状，这种构形在自然界中无处不在。

早在 1967 年美国数学家本华·曼德博（Benoit B. Mandelbrot）在《科学》杂志上上发表的一篇题为《英国的海岸线有多长？》的论文。文中指出，像是海岸线这种不规则图形，如果选取的测量尺度不一样，测量结果将相差甚远。

如下图，当选择测量尺度很大时，细小的地方没有测量，得到的值会比较小。

而用小尺度测量，得到的结果会大得多。用的尺度越小，得到的值将越大。

不同测量尺测量英国海岸线，图片来源：Wikipedia

也就是说现实中这种复杂的不规则边界的图形没有准确的周长，并且会随着测量尺度的减小它的周长将趋于无穷。这便是分形理论的萌芽。

后来人们认为，如果这种不规则边界呈现出一种小尺度和大尺度相似的特征，并且无限细分下去都存在这种自相似性，那么这种几何形状就可以被称为“分形”。

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分形并不都是“螺旋的”

其实，在日常生活中有很多分形的例子，除了开篇提到的罗马花椰菜和松塔，像菠萝的生长、冰晶的形成，也遵循分形规律。

1. 雪花

没有两片雪花是完全相同的，但是它们都有自己的独特的分形。

图库版权图片，不授权转载

雪花的分支会产生自己的侧分支，如果雪花不停的积聚水分并融合，那么雪花可能会永远这样继续下去。

我们生活中见到的雪花实际上就是经过无数次迭代形成的。

科赫雪花示意图，图片来源：Wikipedia

这其中最著名的分形图案被称为科赫雪花，它源于一个等边三角形叠加另一个等边三角形，然后再接二连三形成下一个等边三角形。

科赫雪花经过无数次迭代后，它的边角变得非常崎岖，这会使有限面积的雪花蕴藏着无限的周长。

这也与“海岸线有多长”的问题异曲同工。

2. 树枝

对于植物来说，以分形的规律生长，可以让它们最大限度地暴露在阳光下，进行良好的光合作用。同时，也能够高效地将养分输送到自身的各个部位。

树木的生长是自然界中最典型的分形之一。

随着树干的生长，树枝从树干上长出来，而这些树枝本身又会像树干一样，发展出自己的枝条。

仔细观察，你会发现整棵树可以看作“Y”形的重复。

树木分形，图片来源：Robert Fathauer

这种分形设计，就像多肉植物的螺旋形，帮助树木优化它们对阳光的照射，并防止顶部树枝遮挡较低的树枝。

3. 铜晶体

分形几何在化学中也很常见，铜晶体正是一个典型的代表。

铜晶体像树枝一样向四面八方分支，每根分支又是一个新的生长点往下延续。

铜晶体，图片拍摄：老猫

正是这样的不断分枝，形成固体金属铜。

由于这种迷幻的树状结构和独特的红棕色，生活中铜晶体经常被当作艺术品。

4. 河流

当我们看地图时，会发现河流总是呈蜿蜒的“S”形，虽然溪流有时可以形成一条直线，但随着它们遇到不同障碍物干扰，很快就会变得弯曲。

只需一次扰动就可以扰乱河流的流动路线，使其全线弯曲。

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深入研究这些河流后会发现，它们的宽度是非常公式化，一般曲线长度总是通道宽度的六倍。

这种自相似性正是分形的特征，也是世界各地河流看起来相似的原因。

5. 泡沫

在自然界中，当海浪冲击或雨滴落下时出现的气泡会产生一种自相似的模式，液体薄膜将各种大小的气腔隔开。

大气泡旁边散布着小气泡，小气泡旁散布着更小的气泡。

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我们在咖啡上、洗碗槽、浴缸中见到的泡沫都是一种分形的现象。

自然界中每一中的分形都有它自己的道理，你在自然界中还见到过哪些分形的现象？

参考文献：

[1] "UA Mathematicians Predict Patterns in Fingerprints, Cacti." University of Arizona. 2004.

[2] Peng, Sheng-Lung, Rong-Xia Hao, and Souvik Pal. "Proceedings of First International Conference on Mathematical Modeling and Computational Science." Springer Nature. 2021.

作者：Denovo 科普作者

审核：张磊 北京大学北京国际数学研究中心 研究员

2、分形几何学含义，分形几何探讨

1.何谓分形？

顾名思义，分形是对几何图形的局部细分，而这种细分可以无限进行。自然界的许多景物呈现出这种特点。例如椰菜花（图1）、肺组织（图2）。

图1. 椰菜花

图2. 肺组织

对于日常生活中的直观图形，随着分形的不断深入，图形的总周长和面积将呈现何种趋势？现以正三角形的分形为例进行探讨。

图3. 正三角形的分形图

对正三角形的各边三等分，以中间一份的长度为边长作新的正三角形。依次进行下去，对新增的正三角形各边三等分，再以中间一份的长度为边长向外“增生”新的正三角形。下面推导经过 n 次“增生”后，整个图形的周长（实线部分）和面积。

设初始正三角形的边长为a_0，周长和面积分别为p_0和A_0。显然，经过第 k 轮“增生”后，周长有增有减，且增加的部分大于减少的部分，而面积只增不减。设周长的（净）增加值为Δp_k，面积的增加值为ΔA_k（k=1，2，......，n）。

第一轮“增生”

第二轮“增生”

第 n 轮“增生”

总周长为

总面积为

随着分形的无限深入，

可见，对于这种分形方式的无限进行，总周长和总面积均趋于有限值。

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