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1、数学史三大危机简介：盘点人类数学史上三次危机，最后一个危机至今仍没解决

几乎从一出生开始，我们就开始接触数学，甚至比接触语文还要早。到了牙牙学语的时候，爸妈主动教我们认数字，然后是简单的加减法。到了学龄阶段，数学也是与语文同等重要的学科。

古代人类对数学也非常痴迷，热衷于研究数学。古代人类一直相信整数看起来如此优美，肯定可以代表宇宙中的所有事物。

但是，随着一次意外地发现，完全颠覆了古人类对数学的认知。

在研究等腰直角三角形时，人们发现，如果三角形的直角边是1，那么斜边长就是根号2。但是当人们想知道根号2到底是一个什么数时，就开始“恐惧”起来。

人们发现，不管如何计算，根号2好像永远算不到尽头一样，人们第一次认识到了无理数的存在。无理数的发现也彻底打破了人们对自然界中整数的优美认知。

但人们不可能对无理数视而不见，而是开始摆脱对整数的追求，进而研究无理数。无理数的存在也让人们第一次开始思考有关无穷的概念。

最典型的就是“在“芝诺悖论”，具体是这样的。

你和一只乌龟赛跑，你的速度是乌龟的10倍，但乌龟的起点在你前方100米。当你跑100米来到乌龟起点的时候，乌龟跑了10米。当你跑10米时，乌龟跑了1米。当你跑1米的时候，乌龟跑0.1米......

能够看出，你跑的距离永远是乌龟之前跑的距离，也就是说，你永远追不上乌龟。

但现实中我们都知道，你很快就会追上并超越乌龟。古代人类开始思考无穷的概念，如果按照上面的思路，很容易陷入悖论中不能自拔。但仔细思考就能看出悖论的问题所在。对路程的无限细分意味着需要无穷多的时间，但是你的时间总是有限的，你肯定不能在有限的时间里做无穷多的事情。当然，用如今我们知道的极限概念更容易理解。

对无穷概念和无理数的思考也让人类化解了第一次数学危机。直到两千多年之后，第二次数学危机才悄然降临，也就是微积分思想。

在牛顿时代，人们还没有完全理解0和无穷下之间的关系，没有彻底搞清楚积分，微分还有导数的真正含义。

比如说在研究曲线上某个点的切线斜率时，如今我们知道可以在切点上取一个边长无限小的直角三角形，用这个三角形的斜边就可以代替切线斜率。

但是人们的心里面总是有一道过不去的坎：总是认为无论直角三角形有多么小，斜边也不可能真的是切线斜率。两者总是有误差的，不能画等号。

直角三角形的斜边可以无限靠近切线斜率，但两者永远不会相同。这就像如今很多人还在质疑的一个问题很类似：0.999......和1到底是不是相等的问题。

这就是数学史上的第二次危机，根本还在于人们对微积分的理解有偏差。

第三次数学危机发生在第二次数学危机的两百多年之后。主要是关于集合论的辩论。最著名的就是“罗素悖论”。

举个简单的例子，一个非常牛逼的理发师打出一个条幅，条幅上写着：给所有不能给自己理发的人理发！

那么问题来了：这个牛逼的理发师能不能给自己理发呢？

如果能，就与宣传广告发生矛盾了：给不能自己理发的人理发，但理发师能自己给自己理发。如果不能，也不行，因为理发师说了能给自己不能理发的人理发。

罗素悖论听起来更像是一种诡辩，对集合论定义的诡辩。不过即使是真的是诡辩，人们至今也没能很好地解释这样的诡辩的问题到底出在哪里。

就像人们网络上经常会遇到的一个问题：上帝能无所不能的，那么上帝能制造出一个他自己搬不动的石头吗？与上面的理发师问题一样，无论能或者不能，都会出现矛盾。

从哲学上分析，罗素悖论其实是唯心主义与唯物主义的争论。

如果你是唯心的，你会认为世界都是你的表象，世界只是你意识幻想出来的虚拟环境。于是问题出现了：“你”本身是不是意识虚幻出来的呢？如果是，“你”对“你的概念”的质疑是不是也是虚幻出来的呢？如果也是，那么“你”对“你质疑你的概念”的质疑是否也是虚幻出来的呢......

如此一直下去，没有尽头。最本质的一个问题是：“你”本体到底在哪里？说白了，“你”到底是怎么存在的？

通俗理解，上面的矛盾是这样出现的：你总是首先把你自己置身在某个事件之外，不过换个角度，你自己其实也身在事件之中。所以问题就演变为：你本身到底是在事件之外还是事件里面？

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2、数学史三大危机简介，数学史上的三次数学危机

数学这一门学科发展到现在，有了许许多多的分支，也与其他学科发生着千丝万缕的联系。那么，数学史上的三次危机，你知道吗？

第一次数学危机发生于公元前400年的古希腊。这次危机自根号二的发现起，到公元前370年左右，直到无理数的定义出现才宣告结束。

众所周知，古希腊有一位大哥级的数学家——毕达哥拉斯（记住了，不是毕达哥斯拉），他创立了一个学派——毕达哥拉斯学派。这个学派认为“万物皆数”，他们要接受长期的训练和考核，遵守很多的规范和戒律，并且宣誓永不泄露学派的秘密和学说。他们相信依靠数学可使灵魂升华，与上帝融为一体，万物都包含数，甚至万物都是数，上帝通过数来统治宇宙。

毕达哥拉斯

相传，毕达哥拉斯应邀参加一次豪华聚会，不知道什么原因，大餐迟迟不上桌。善于观察和理解的毕达哥拉斯没有注意这些，而是被脚下规则、美丽的方形石砖所深深吸引，他不是在欣赏它们的美丽而是在思考它们和“数”之间的关系。于是，在大庭广众之下，他蹲在地板上，拿了画笔在选定的一块石砖上以它的对角线为边画一个正方形，结果惊奇的的发现这个正方形的面积恰好等于两块砖的面积和。开始他以为这只是巧合，但当他把两块砖拼成的矩形之对角线做另一个正方形时，这个正方形面积相当于5块砖的面积。这也就是说它等于以两股为边作正方形面积之和。后来，他又做了进一步演算，最终证明了“毕达哥拉斯定理”（即勾股定理）。

a² b²=c²

毕达哥拉斯认为数字分三类，一类是整数，一类是有限小数，还有一类是无限循环小数。这些数字都有一个共同点，那就是他们都可以用整数之比来表示，这些数被称为“有理数”，而毕达哥拉斯所认为的“万物皆数”，就是指所有实数都是有理数。毕达哥拉斯在当时的影响力是相当大的，因而几乎所有人都毫无疑义地认同了这种说法。

这时，一位名叫希帕索斯的小哥出场了，他发现以下直角三角形的斜边不能用整数之比来表示：

据说，毕达哥拉斯在听到这个说法后十分震惊，要求所有成员不得泄露这个数的存在，甚至杀害了可怜的小哥希帕索斯。这是数学史上第一次发现无理数。（P.S.也有说法称正五边形的边长与对角线长是最先被发现的无理数）

第一次数学危机是由无理数的发现引起的，只要准确的给无理数下一个定义就可以漂亮地解决这个问题。那就有人要问了，无理数的定义到底怎么下呢?这对当时的人来说是一个问题。

这个问题是在约公元前370年，由柏拉图的学生攸多克萨斯解决的。他用公理化方法创立了新的比例理论，巧妙地处理了可公度和不可公度。他处理不可公度的办法，被欧几里得《几何原本》第二卷（比例论）收录。

值得一提的是，攸多克萨斯给出的解释与狄德金于1872年给出的无理数的现代解释几乎完全一致。

至此，第一次数学危机得到解决，这是一次数学史上的革命，产生了深远的影响。它使得古希腊传统的数学思想得到冲击，整数的地位也受到了挑战，几何学开始蓬勃发展。也正是因为这一次数学危机，数系得到了扩充，人们开始接受无理数的存在。

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